Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бугров Я.С. -> "Высшая математика" -> 15

Высшая математика - Бугров Я.С.

Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учебник для вузов. Под редакцией Садовничего В.А. — М.: Дрофа, 2004. — 288 c.
ISBN 5-7107-8420-6
Скачать (прямая ссылка): vishmat2004.djvu
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 37 >> Следующая

Выше было дано определение п-мерного евклидова пространства — это пространство Дя, в котором определено скалярное произведение по формулам соответственно (5) или (5')-
§ 7. Отрезок. Деление отрезка в данном отношении
Зададим произвольные точки х, у е Ип и введем множество точек (векторов):
г = \х + цу {К, ц ? 0, \ + ц = 1), (1)
определяемых неотрицательными числами "К, и, сумма которых равна 1. Имеем
г = (1 - \1)х + иу = х + \1(у - х) (0 5 ц 5 1) (2)
ИЛИ
г = у + Цх - у) (0 5X^1). (2')
Из равенства (2) видно, что в трехмерном пространстве точки г заполняют отрезок, соединяющий х и у. Ведь радиус-вектор г есть сумма вектора х и вектора ц(у — х), коллинеарного с у — х (рис. 11). Таким образом, множество точек (1) представляет собой отрезок Рис. 11
3*
68
§7. ДЕЛЕНИИ ОТРЕЗКА В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ
[лс, у] в Л3, соединяющий точки х и у. При р = О г — х, при ц = 1 г = у, для любого р>0(0<р<1)г есть произвольная точка [х, у\.
По определению отрезком [х, у], соединяющим точки х, у е Нп, называется множество всех точек г вида (1). Справедлива
Теорема 1. Точка
г = Хх + \ху {X, и > О, X + и = 1) делит отрезок [х, у], соединяющий точки х, у е Еп на отрезки с длинами, находящимися в отношении и : X.
Доказательство. Из (2) следует, что г — х = ц(у — х), и потому расстояние между точками х к г равно
\г - *| = ц|у - *|. (3)
Далее, из (2') г — у = Х(х — у), и потому расстояние между точками гну равно
\г - у\ = ^* - у|. (4)
Из (3)и(4) следует
\г - ж| : |г - у\ = р : X, что и требовалось доказать.
Задача. Требуется найти на отрезке [х, у], соединяющем точки х, у е Дл, точку 2, делящую этот отрезок в отношении р : д (р > 0, д > 0).
Решение. Возьмем числа
А. = ——, и = —— (р > 0, с/ > 0, р + д > 0). р + <7 р + 9
Они удовлетворяют свойствам л, р > 0, л + р = 1, р/А. = = р/д. Поэтому на основании теоремы 1 искомая точка
дх + ру
2 = XX + им = -. (5)
§8. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
69
Ке координаты г = (г1, 2я) выражаются через координаты х = (д^, дся), у — (у,, ?/„) при помощи равенств
= ^ + РУ> (/ = 1.....„). (5')
' + 9
В частности, середина отрезка получается при р = q = 1, т. е. А, = ц = 1/2.
Отметим, что, как доказывается в механике, точка г, определяемая равенством (5) или (5'), есть центр тяжести системы точек х и у, в которых сконцентрированы массы соответственно д. и р.
Отметим, что в Л3 множество точек
г = Хх + ру, А. + и = 1,
где X и р любого знака представляет собой прямую, проходящую через точки х и у. Это видно из равенства (2').
В пространстве же Лл (п > 3) это множество называют прямой по определению.
Пример 1. Найти координаты центра тяжести системы материальных точек ж* = (дс*; х%, дед ) соответственно с массами рк(к= 1, М). Применяя формулы (5') для точек х1, х2, найдем центр тяжести гх точек х1 и хг. Затем находим центр тяжести г2 точек zY и х3 соответственно с массами ру + р2 и рг Продолжая этот процесс на (М - 1)-м шаге, получаем
1 М § 8. Прямая линия
Понятие прямой является первичным в геометрии. Из аксиом геометрии мы знаем, что через две точки проходит единственная прямая и через точку, лежащую на данной
70
§8. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
Рис. 12
прямой, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной.
В плоскости зададим прямоугольную систему координат х, у и прямую Ь, не параллельную оси у (рис. 12).
Из школьного курса мы знаем, что уравнение прямой Ь имеет вид
у - Их + /, (1)
где к = tga и а — угол, образованный прямой Ь с положительным направлением оси х, а I — ордината точки пересечения Ь с осью у (I = ОБ).
Когда говорят, что уравнение (1) есть уравнение прямой Ь, этим хотят выразить, что Ь есть геометрическое место точек, координаты которых (х, у) удовлетворяют уравнению (1). Справедливость этого утверждения легко усмотреть из рис. 12. Точка А есть произвольная (текущая) точка прямой Ь, имеющая координаты {х, у) ВС = х, АС = у - I и
у-1
к = 16а =--, (10
х
откуда следует (1). Обратно, равенство (1) эквивалентно равенству (10, а последнее выражает, очевидно, тот факт, что точка (х, у) лежит на прямой Ь. На рис. 12 угол а острый. В случае тупого угла а можно провести подобные рассуждения.
§8. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
71
Зададим уравнение
Ах + Ву + С = 0, (2)
где А, В, С — заданные числа и к тому же А а В одновременно не равны нулю.
Если В Ф О, то уравнение (2) можно записать в следующем виде:
У
В
С
в
(20
или, полагая
А С
В В
в виде (1). Так как уравнения (2) и (20 эквивалентны — любая точка (х, у), удовлетворяющая одному из них, удовлетворяет и другому, — то равенство (2) при В Ф О есть уравнение прямой, наклоненной к положительному направлению оси х под углом а, тангенс которого равен -А/В (tga = —А/В), и пересекающей ось у в точке, имеющей ординату -С/В (I = -С/В). При В = 0 уравнение (2) принимает вид
Ах + С = О (А Ф О!),
или
X - а (а = -С/А).

Это тоже уравнение прямой, но только параллельной оси у. Именно, это есть геометрическое место точек (х, у), -абсциссы х которых равны одному и тому же числу а. На рис. 13 изобра- Рис. 13
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 37 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed