Высшая математика - Бугров Я.С.
ISBN 5-7107-8420-6
Скачать (прямая ссылка):
В равенстве (11) можно, очевидно, вместо у поставить другую букву, поэтому мы получили тождества
ВАх = АВх = х, \/х.
Оператор х = Ех ( \/х е Л„) называется единичным оператором. Матрица, ему соответствующая, имеет вид
118
§15. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Е =
1 О ... О
О 1 ... о
О О ... 1
и называется единичной. Мы доказали, что АВ = ВА = Е.
Оператор В, обладающий этим свойством, называется обратным к оператору А и обозначается через А1. Соответственно его матрица называется обратной матрицей к матрице А и обозначается тоже через А'1. Элементы матрицы А'1 находятся по элементам матрицы А с помощью формул (9).
Мы доказали, что если определитель |А| квадратной матрицы А не равен нулю, то она имеет обратную матрицу А'1. Для А'1, таким образом, выполняются свойства
А1 А = АА-1
Е.
Если определитель матрицы А равен нулю (|А| = О), то она не имеет обратной матрицы. Достаточно сказать, что уравнение у = Ах имеет решение не для всякого у. Между тем свойство АА'у = у, если оно выполняется, утверждает, что каждому уе йл соответствует (при помощи оператора А'1) такой х, что он есть решение уравнения у = Ах.
Замечание. Операцию умножения матриц можно распространить и на неквадратные матрицы В и А, лишь бы число столбцов матрицы В совпадало с числом строк матрицы А. Тогда умножение матриц производим по формулам, подобным (6). Например, если
'\ 2 3> '\ 1^ г4 3^
В = 0 1 0 , А = 0 1 , то ВА = 0 1
,0 0 Ь ,1 °> ,1
§15. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
119
Произведение АВ в данном случае рассматривать нельзя, так как у матрицы А два столбца, а у матрицы В три строки.
Для квадратных матриц А к В произведения АВ и ВА имеют смысл, но далеко не всегда АВ равно ВА. Например, если
А =
1 1 1 I)'
0 1 0 0)'
то
АВ
= (о !)• ВА= (о о)-
т. е. АВ * ВА.
Легко проверить, что (АВ)С = А(ВС).
Если А - линейный оператор, то запись Ах можно рассматривать как произведение матрицы А на одностолбцовую матрицу
X =
\Хп)
Пусть заданы линейные операторы А и В. Суммой их называется оператор А + В, определяемый равенством
(А + В)х = Ах + Вх V х е Д„.
Очевидно, матрица оператора А + В совпадает с матрицей, равной сумме матриц операторов А и В. Легко проверить, что
А(В + С) = АВ + АС.
Пример 1. Найти матрицу, обратную матрице
(1 2 0
0 1 1
1 1 0
120
§15. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Матрица А определяет линейный оператор у = Ах, приводящий в соответствие каждому вектору х = (х,, х„ х3) вектор у = (ур у,, у3) при помощи равенств
ух = х, + 2х2,
Уг~ хг ^ хз' Уз = х, + 2х2,
Эти равенства можно рассматривать также как линейную систему трех уравнений относительно неизвестных х\> х21 хз- Определитель этой системы не равен нулю. Но тогда ее можно решить при любых заданных у,, у2, у3. В результате получим равенства
х1 = -Ух + 2у3,
*з - -Ух + Уг + Уз»
определяющие оператор х = А~1у, обратный к оператору А. Матрица этого оператора
0 2'
А1 = і 0 -1
-і 1 1>
Это и есть матрица, обратная к матрице А.
Элементы матрицы А1 можно получить путем вычислений по формулам (9).
Обозначим элементы обратной матрицы А'1 через Ь)г. Имеем Д = 1, Ь. = А ,
Аі
1
0
2 0 1 О
1, А12
О, А,
1. Аз•-
= -1,
= і,
§15. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
121
2 1
О 1
2» Ач2
1
о
о 1
~ 1> Аз
і
о
2 1
= 1.
Таким образом,
= Аі = 1, ьа- Аі = о, Аі = 2,
= Аг = 1, Ь22 = Аг = о, Ь23 = Аг = -1,
= Аз -1, Ь32 = Аз = 1, Ьзз = Аз = 1.
Итак,
А'1 =
-1 1 -1
О О 1
2\ -1 1
Пример 2. Вычислить произведение матриц ВА, где
<1 0 Г '2 0 0>
А = 0 1 2 в = 0 3 2
,1 1 !> ,2 1 -к
Вычисление можно произвести по формулам (5), (6), но можно рассуждать и следующим образом.
Матрица А определяет оператор у = Ах, приводящий в соответствие векторам х = (х,, х2, х3) векторы у = (у1У у2, у3) при помощи равенств
у, = х1 + х3,
Уг Уз
Матрица же В определяет оператор г = Ву, приводящий в соответствие векторам у = (у,, у2, у3) векторы л = = (г,, г2, г3) при помощи равенств
г, = 2у,,
2г = 3»г + 2у3'
х2 + 2х3,
х1 + х2 + х3.
23 - 2у, + у2
'з-
122
§16. БАЗИСЫ В Ип
Но тогда оператор
г = ВАх определяется равенствами
2, = 2(х, + х2) = 2х, + 2х3,
г2 = 3(х2 + 2х3) + 2(хх + х2 + х3) = 2х, + Ьхг + 8x3,
23 = 2(х, + х2) + (х2 + 2х3) - (х, + х2+ х3) = х, + Зх3.
Следовательно, произведение 73А матриц В и А есть матрица
'2 0 2Л
2 5 8
0
§ 16. Базисы в Е
В пространстве Яп (действительном или комплексном) введем п векторов:
11 =(1, О,..., О),
12 = (О, 1, О.....О),
і" = (О, О.....О, 1),
(1)
называемых ортами осей пространства Яп.
Осью хк пространства йп называется множество точек вида (0, О, хь, 0, О), где хк стоит на Л-м месте и пробегает все действительные (комплексные) значения, а вектор »* называется ортом оси хк.
Если а = (х,.....хп) есть произвольный вектор (действительный в действительном Лп или комплексный в комплексном Дл), то его можно, очевидно, записать в виде линейной комбинации из векторов (1) следующим образом:
а = хлр + Х?2 +
+ х і"
(2)
§16. БАЗИСЫ В Д„
123
Так как из равенства а = (х,, хл) = О следует, что х, = ... = хл = О, то система (і1.....і") линейно независима.
