Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бугров Я.С. -> "Высшая математика" -> 29

Высшая математика - Бугров Я.С.

Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учебник для вузов. Под редакцией Садовничего В.А. — М.: Дрофа, 2004. — 288 c.
ISBN 5-7107-8420-6
Скачать (прямая ссылка): vishmat2004.djvu
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 37 >> Следующая

s=l г=1
s=l
Ортогональная матрица была определена нами как такая матрица, у которой строки (векторы, представляющие их) нормальны, а разные строки ортогональны. Из этого определения, как это видно из (14), автоматически следует, что у ортогональной матрицы и столбцы нормальны, а разные столбцы ортогональны.
Переход от (*,, .... хп) к (х\.....л/„) совершается при
л
помощи матрицы, так как (считая, что о = X х\ а1 =
і=і
X*si») (см. (11))
e=i
А'
( п Л п п
X*Ve,a' =Х*.(і''а') = Хв'Л- (15)
Vs=l ) s=l s=l
Переход же от (*',, л/„) к (xlt .... хп) совершается при помощи (см. (13)) матрицы Л' транспонированной к Л, т. е.
х.= Ха^'
1=1
134
§17. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ В Дп
Отметим, что определитель произвольной ортогональной матрицы Л (см. (6)) по абсолютной величине равен 1: I N I = | к,| | = 1.
Это следует из того, что
|л|2 = кШ
Ха*л<
ї=1
1 О О ... О О 1 0 ... О
О О О ... 1
= 1.
Здесь мы считаем, что элемент уы произведения определителей равен сумме произведений элементов Л-й строки на соответствующие элементы 1-й строки (см. § 2, свойство к)).
Отметим еще, что определитель из компонент векторов базиса I1, V равен 1:
1 О О ... О О 1 О ... О
О О О ... 1
Если ортогональный базис а1, .... а" имеет определитель |Л] = 1 (см. (6)), то говорят, что этот базис ориентирован так же, как базис »х, Ь". Если же |Л| = —1, то -противоположным образом. Эти определения согласуются с соответствующими определениями в двумерном и трехмерном случаях, сделанными в § 11 и в § 12.
Замечание 1. В комплексном пространстве Лп матрица (8), где аы комплексные, называется ортогональной, если

(9')
8=1
§17. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ В Я„
135
Покажем, что ортонормированная система векторов (6) в комплексном Дв порождает ортогональную матрицу Л (см. (8)). В самом деле, в комплексном Дп скалярное произведение векторов х, у подчиняется свойствам (см. § 6, б'), в'))
(*, у) = (у, х), (ах + ру, г) = о**, г) + Р(у, г), где а, Р - комплексные числа. Поэтому
(х, ау + Рг) = (ау,+ $г,х) - (ау, х) + (ре, х) -
= а(у, х) + р(2, х) = а(х, у) + Р (х, г). Но тогда для ортонормированной системы векторов а1.....о" имеет место
5М = («*, о1)
п п
X Ха**г
Ч»=1
г=1
п п п п
8=1 Г=1
в=1 г=1
п
-Ха*А»« (10'}
8=1
т. е. матрица Л ортогональна. Мы видим, что и, обратно, ортогональность Л влечет ортонормированность векторов а1, о", определенных по формулам (7).
Помножим вектор і' на а* скалярно (см. (7)):
(і1, а") =
Отсюда
п
X "*»(»'. *) = о«
8=1
136
§17. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ В Д„
А=1
к=1
(12')
Таким образом, переход от базиса (а1, а") к базису (**, .... 1") осуществляется при помощи матрицы
Л* =
«и - ап1
Чп
= А'
Так как преобразования (11') обратны преобразованиям (7), то попутно показано, что ортогональная матрица Л обладает следующим свойством (в комплексном /гп):
Л1 = Л*, (Л')1 = (Л')* = (Л") = Л Из (12') следует
ґ П п Л
(16)
6Ы = (»*, V)
^5=1
Г=1
в=1 г=1 ^
Следовательно, равенства
п
К = Ха«*о, (/г, * = 1, .... п)
а=1
(так же, как (9')) могут служить определением ортогональной матрицы Л.
На основании (14) и общих фактов, полученных в § 16 (петит), отметим матрицы, осуществляющие нижеследующие ортогональные отображения:
§17. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ В Д„
137
Л: (»», »") -> (а1, .... а") (см. (7)); Л*: (о1, а") -> (?», »") (см. (120); Л': (х-у.....О -> (*„ .... *„) (см. (6) § 16);
X: (*,, жв) -> (*\, —. <,) (см. (16)),
где (дс,, хп) и (л/,, х"п) - координаты произвольного вектора в комплексном пространстве Яп относительно базиса (»', .... I") и ортонормированного базиса (а1, о").
Наконец, равенство | |Л| | = 1 в комплексном случае доказывается так:
|л]2 = К\
я=1
10 0... 0 10...
0 0 0..
1.
Ортогональные матрицы называют еще унитарными
138
§18. ИНВАРИАНТНЫЕ СВОЙСТВА
§ 18. Инвариантные свойства скалярного и векторного произведений
Замечание. В трехмерном действительном пространстве пусть заданы две прямоугольные системы координат ж,, х2, х3 и ук, у2, у3 с системами ортов соответственно (г1, і2, і3) и О'1. /2> /3). Пусть
3
/'* = Xа***" (А = 1, 2, 3) (1)
«=1
(ср. (7) и (13) § 17. Тогда матрица (действительная!)
А = ««л
ортогональна и (ср. (13) § 17)
з
Уі= Ха*>*« С = 2« 3>- (2)
я=1
Одна и та же точка (вектор) пространства имеет в первой системе (координат) координаты (компоненты) (х1Г х2, х3), а во второй - координаты у2, у^. При этом формулы преобразования координат (перехода (хх, х2, х3) к (ух, у2, у3)) в точности такие же, как формулы преобразования системы ортов (і1, і2, Р) в систему ортов (у1, /2, /3). В обоих случаях применяется одна и та же ортогональная матрица (см. (13) и (7) § 17)
л = Под.
В первом случае матрица А применяется к системе чисел (Жр ж2, ж3), чтобы получить систему чисел (ух, у2, у3), а во втором та же матрица А применяется к ортам (і1, і2, і3), чтобы получить орты (у1, /"2, /3).
Дадим общее определение вектора, принятое в тензорном исчислении.
§18. ИНВАРИАНТНЫЕ СВОЙСТВА
139
Вектором в трехмерном пространстве называется вещь, выражаемая в каждой прямоугольной системе координат некоторой тройкой чисел, которые преобразуются так же (при помощи той же матрицы), как тройки ортов соответствующих систем координат.
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 37 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed