Высшая математика - Бугров Я.С.
ISBN 5-7107-8420-6
Скачать (прямая ссылка):
§ 20. Линейные подпространства в Дп
Множество Ьвй (1сЯ) называется линейным под-пространством пространства Яп или, короче, подпространством в Бп, если из того, что два каких-либо вектора х и у принадлежат к Ь (х, у е Ь), автоматически следует, что вектор ах + ру тоже принадлежит к Ь (ах + $у е Ь), где а, р — числа. Подпространство Ь называется т-мер-ным, если в нем имеется линейно независимая система а1, ат, состоящая из т векторов, и нет системы, состоящей из т + 1 линейно независимых векторов.
Таким образом, если а - произвольный вектор в Ь (а е Ь), то система а1, ат, а линейно зависима, т. е. существует нетривиальная система чисел Хх, Хт, Хт+1 такая, что
А.^1 + ... + Хтат + Хт+1а = 0. (1)
Здесь Хт+1 ф 0, иначе было бы
Л.^1 + ... + Хтат = 0,
и вследствие линейной независимости системы а1.....ат
было бы Х1 = ... = Хт = 0, и вся система Хх, Хт, Хт+1 была бы тривиальной. Тогда уравнение (1) можно решить относительно а:
а = + ... + \1та" (р., = -ЛЛ-пм). (2)
т. е. представить в виде линейной комбинации из векторов а1, ат. С другой стороны, линейная комбинация
В силу же формул (1) и (4)
ж,»1 + x2i2 - x\(ajl + сс12?2) + x'2(a2lil + a22i2) -
- (ai/i + «г^г)*' + («i2*'i + «22*'2)*2. откуда, приравнивая компоненты при i1 и i2, получим формулы, обратные к (5):
xi ~ aiixi + аг1х'г> 1
, Г (6)
Х2 ~ а12Х1 + а-22Х2ш)
Если наряду с преобразованием (6) перенести еще начало осей xfv х?2 в точку <У, имеющую координаты xt = х®,
х2 = х2' то формулы (6) усложнятся, очевидно, следующим образом:
х1 = х1 + all*l + СС21Ж2, *2 = ^2 °-12*1 °-22*2"
Итак, произвольное преобразование прямоугольных координат (xlt х2) в прямоугольные координаты (ж',, ж'2)
с переносом начала системы (xlt х2) в точку (У = ( х\, х%) выражается формулами (7), где матрица
I! «ц a21 I! ||a12 a22 I
ортогональная.
Соответствующее преобразование, сохраняющее ориентацию системы координат, имеет вид
хг = xi + x'i COs а~х2 sm a> ж2 = x2 + sin а + хъ cosa
и преобразование, меняющее ориентацию, имеет вид
146_§20. ЛИНЕЙНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА В Д„_
§20. ЛИНЕЙНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА В Д„_147
Тогда для любых чисел а, Р (схи + рі/, и) = а(и, и) + р(і/, и) = 0, Уи є Ь,
т. е. Ш) + Ри' Є IIш
По определению подпространство II с. і?п называется ортогональным к данному подпространству Ьс і?я, если II есть множество всех векторов, каждый из которых ортогонален к Ь.
Ниже доказывается теорема, выясняющая структуру произвольного подпространства Ісй и ему ортогонального подпространства II с іїи. В частности, из нее следует, что если II ортогонально к Ь, то и, обратно, Ь ортогонально к II.
Теоремаї. Пусть Ь есть линейное подпространство, отличное от Ип и нулевого подпространства. Тогда:
а) существует целое число т, удовлетворяющее неравенствам
1 < т < л, (3)
и ортонормированный базис
а1, .... ат (4)
в Ь; если этот базис продолжить любым способом до ортонормированного базиса в Нп:
а1, ат, ат+і..... а", (5)
то линейное подпространство Ь' с базисом
от+1, .... а" (6)
обладает следующими свойствами:
б) Ь' есть подпространство, ортогональное к Ь;
в) Ь есть подпространство, ортогональное к II',
г) любой вектор а є Нп можно представить в виде суммы
вида (2) принадлежит к Ь, потому что Ь - подпространство. В этом смысле говорят, что система а1, ат есть базис в Ь. Очевидно, любая другая линейно независимая система векторов б1, 6т, принадлежащих к Ь, есть базис в Ь.
Если разложить векторы Ь' по векторам о1, ат, то получим
т
Ь*= ^Ъкза' (А = 1.....т).
По аналогии с тем, как мы рассуждали в § 16 для Яп (где теперь надо заменить Ї" и а* соответственно на а', Ь*), можно получить, что система б1, Ът линейно независима тогда и только тогда, когда определитель ф 0, и что любая независимая система, состоящая из I < т векторов, уже не может быть базисом в Ь.
Пространство Лп можно рассматривать как подпространство Дп, имеющее п измерений.
Множество, состоящее из одного нулевого вектора 0, есть линейное подпространство (схО + р0 = 0). Про него говорят, что оно имеет 0 измерений. Вектор 0 не образует линейно независимой системы — из равенства А.0 = 0, где А. - число, не обязательно следует, что А. есть нуль.
Если вектор дг° ф 0, то множество векторов вида А.*0, где А. - произвольное число, есть одномерное подпространство. В качестве базиса в нем можно взять вектор х°.
Пусть Ь есть линейное подпространство в іїп. Будем говорить, что вектор v є Ди ортогонален к Ь, если он ортогонален к любому вектору и є Ь. Обозначим через И множество всех векторов, ортогональных к Ь. Ь' есть подпространство. В самом деле, пусть v, і/ є II, т. е.
(v, ц) = 0, Х/и є Ь;
(v, и) = 0, >/и є Ь.
148_§20. ЛИНЕЙНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА В Д„
а = и + v,
где и е Ь, v 6 Ь' и при этом единственным образом.
Доказательство. По условию Ь отлично от нулевого подпространства, следовательно, в Ь существует вектор х, отличный от 0. Нормируя х, получим нормальный вектор
Обозначим через а2 любой, принадлежащий к Ь нормальный вектор, ортогональный к а1 (|а2| = 1, (а2, а1) = 0), если такой существует. Далее, обозначим через а3 принадлежащий к Ь нормальный вектор, ортогональный к а1 и а2 (|а3| = 1, (а3, а1) = (а3, а2) = 0), если такой существует. Этот процесс закончится на некотором т-м этапе, где т удовлетворяет неравенствам (3), т. е. найдется ортонорми-рованная система векторов (4), принадлежащих к Ь, но уже не будет в Ь единичного вектора, ортогонального к векторам о1, ат. В самом деле, т > 1, потому что заведомо а1 е Ь. С другой стороны, т не может быть равным л. В противном случае векторы о1, ап принадлежали бы к!и вместе с ними принадлежали бы к под-
