Высшая математика - Бугров Я.С.
ISBN 5-7107-8420-6
Скачать (прямая ссылка):
(2*)
т. е. компонента у.) выражается через координаты вектора х с помощью /-й строки матрицы А* или /-го столбца
матрицы А.
Справедливо равенство
(Ах, г) = (х, А*2) V*, 2 б Д„, (4)
верное для всех х, 2 е В самом деле, для действительных Лп и а1в
(п п ( п
*5= (х, А*г)
к«=1 ) 5=1
•=1 '=1
В комплексном случае
" п Ґ п \ " "
(Ах, г) - Х^-2/ = X Xа**» = Х**Ха*27
/=1
\«=і /
«=і /=1
= Хх»Ха^'= <*• А*2)-
«=1 7=1
154
§21. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМОВА ТИПА
Равенство (4) характерно для сопряженного оператора, потому что, если для некоторого линейного оператора В выполняется равенство
(Ах, 2) = {х, Вг), Ух, 2 6 Д„, (5)
то необходимо В = А*. Действительно, (В = ЦЬ(4||), для действительных аи, Ъ1з, Кп
(Ах, 2) =
1=1 «=1
п п п п
(х, Вг) = ХХЬя г(ж, = х.2г
3=1 1=1 1=1 5=1
Из (5) следует, что
п п п п
1=1 «=1 1=1 «=1
откуда аы = о(> (1, в = 1, л), в чем можно убедиться, если положить в (6) л: = (О, ...,0, 1, О, О) и 2 = (0, О, 1, О, О), где у х единица стоит на в-м месте, а у г на 1-м месте. В комплексном случае
п п
(Ах, г) = ??в/Л^'
;=1 в=1
л л
(х,вг)= ?*»5Аг1 = 2*.Хь«л-
«=1 У-1 «=1 ]=1
п п
1=1 «=1
откуда <т - Ь31 или Ьву. = а>я.
§21. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМОВА ТИПА
155
Таким образом, сопряженный оператор А* к линейному оператору А можно также определить как такой линейный оператор, для которого выполняется равенство (4).
Равенства (1) и (1*) можно рассматривать как уравнения - задан вектор у е Лп, и мы ищем х е Лп, для которого выполняется равенство (1) или (1*)-
Соответствующие однородные уравнения имеют вид
Ах = 0 (10)
ИЛИ
п
=0 0 = 1, л) (20)
«=1
и А-2 - 0 (10*)
или
я
IX2'=0 0 = 1.....п). (20*)
1=1
Обозначим через Ь образ пространства Лп при помощи оператора А:
Ь = А(ЛП)
- и через V подпространство всех векторов г, удовлетворяющих однородному сопряженному уравнению (10*).
Мы назвали V подпространством, потому что вместе с 2, г' к нему принадлежат также схг + рг', где а и р -числа:
А\аг + рг') = схА*2 + рл*г' = 0.
Ь есть тоже подпространство, потому что, если у у е Ь, то существуют векторы х, х' 6 Лп такие, что у = Ах, у* = = Ах', и, следовательно,
ау + ру' = оАх + р\Ах' = А(ах + р*')»
т. е. ау + Ру' е Ь.
156
§21. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМОВА ТИПА
Справедлива лемма (см. § 20, теорема 2).
Лемма 1. Подпространства L и L'взаимно ортогональны, т. е. L' есть множество всех векторов z, каждый из которых ортогонален к L, а L в свою очередь есть множество всех векторов у, каждый из которых ортогонален к L'. Если L имеет k измерений, то L' имеет n—k измерений.
Доказательство. Обратимся к равенству
{Ах, 2) = (х, A*z), (7)
верному для всех х, z 6 Rn. Пусть 2 есть вектор, ортогональный к L, тогда для него левая часть (7) равна нулю для всех х 6 Rn, но тогда и правая часть равна нулю для всех же Rn, в частности для х = A*z:
(A*z, A*z) = 0.
Следовательно, A*z = 0. Мы доказали, что если вектор 2 ортогонален к L, то он удовлетворяет уравнению A*z = 0 (т. е. 2 6 L').
Обратно, пусть вектор г удовлетворяет уравнению A*z = 0. Для такого z правая часть (7) равна нулю при любых х, но тогда и левая равна нулю, т. е. z ортогонален ко всем векторам вида Ах, т. е. ко всем векторам у 6 L. Другими словами, z ортогонален к L.
Мы доказали, что L' есть множество всех векторов z, ортогональных к подпространству L. Но тогда на основании теоремы 2 § 20 и, обратно, L есть множество всех векторов у, ортогональных к L', и сумма измерений L и U равна п. Лемма доказана.
Справедлива теорема.
Теорема 1. Для того чтобы уравнение
У - Ах (!')
§21. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМОВА ТИПА
157
имело решение для данного вектора у е Rn, необходимо и достаточно, чтобы вектор у был ортогональным ко всем векторам 2, удовлетворяющим однородному сопряженному уравнению
А*г = 0. (10*)
Решение х уравнения (1), если оно существует, можно записать в виде суммы
х = х0 + и,
где х0 — какое-либо частное решение уравнения (1), а и — произвольное решение однородного уравнения
Аи - 0. (10)
Любая указанная сумма есть решение (1').
Доказательство. В силу леммы 1, если Ь = А№п), а V есть множество всех г, удовлетворяющих уравнению А*2 = 0, то Ь и V суть подпространства, ортогональные взаимно. Но тогда, если для у существует решение уравнения (1), то у е Ь и необходимо все 2 е И ортогональны к у. Если же вектор у ортогонален ко всем z е V, то у 6 Ь, т. е. существует х, для которого у = Ах.
Пусть теперь для вектора у существует решение уравнения (1'). Обозначим его через х°:
у = Ах°.
Тогда, очевидно, сумма х° + и, где Аи = 0, есть тоже решение уравнения (1'):
А(х° + и) = Ах° + Аи=у + 0=у.
Обратно, если х есть произвольное решение уравнения (1'), а х° — определенное частное решение, то
у = Ах, у = Ах°,
и, следовательно,
158
§21. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМОВА ТИПА
О = Ах - Ах° = А(х - х°) = Аи,
где и = х - х°, т. е. х = х° + и, где и удовлетворяет уравнению Аи = 0.
Замечание. Поясним на примере действительного пространства Н2 связь теоремы 1 с теорией Кронекера-Капел-ли. Пусть вектор у = у2) ортогонален ко всем решениям системы
