Высшая математика - Бугров Я.С.
ISBN 5-7107-8420-6
Скачать (прямая ссылка):
\ = х2 = ... = \ - о,
и система векторов (1) линейно независима. Утверждение теоремы в этом случае доказано.
Пусть теперь ранг А = в < к. Перенумеруем переменные Х) и коэффициенты ац системы (2') так, чтобы
«11
а
81
«Ь
* о.
Тогда систему первых в уравнений можно записать так:
«11^1 + +«81^8 = ~«8+1,1^8+1 ~ ••" ~ак1^к>
а18Л1 + ... +а33Хе = -ав+1еХв+1 - ... -акзХк.
Если положить А.
= А.
г.к — 1, то данную систему можно решить относительно А,, А,. В результате получим нетривиальное решение
А,, .... А, (И)
первых в уравнений (2'). Теперь мы можем присоединить к этим в уравнениям любые другие к - в уравнений (2'), и полученная система все равно будет иметь найденную нетривиальную систему в качестве решения. Чтобы объяснить это утверждение, запишем формально систему (2') следующим образом:
Хіаі1 + ...+Хкак1 + Хк+10 + -..+*.„ »0 = 0, 1 Хіаіп + ... + Хкакп + Хк+1 ¦ 0 +...+*.„¦ 0 = 0
(2')
Матрица из коэффициентов полученных уравнений все равно имеет ранг 8, так же как и расширенная (справа нулями!) матрица. Первые в уравнений системы (2') удовлетворяются
найденными числами А,..... Ая (см. (11)) и произвольными
числами А,, Ап. На основании утверждения 2) § 4 (правила
114
§15. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
решения систем) числа X,, .... \п удовлетворяют и остальным уравнениям системы (2'), т. е. числа \, \ (не все равные нулю) удовлетворяют остальным уравнениям системы (2').
Таким образом, векторы а1..... а* линейно зависимы, и
теорема доказана и в этом случае.
§ 15. Линейные операторы
Зададим произвольную квадратную матрицу
а
7.1
(1)
Матрицу А можно рассматривать как оператор, приводящий в соответствие каждому вектору ж'=' (5с,, .... хп) е Дп вектор у - (у,, уп) е Вп, компоненты которого вычисляются по формулам
Уі =«11*1 + ¦••+<*!„*„.
Ул = °лі*і + - ¦- +а„„х„,
(2)
или, короче,
Уі = 2°«/*; (» ~ !. —
(2')
Говорят, что і-я координата вектора у записывается с помощью 1-й строки А. Этот оператор коротко будем записывать так:
у = Ах (х, у є Д„). (2")
Замечание 1. Если аы и далее Ьы - комплексные числа, то Вп надо считать комплексным пространством. Если аы> Ьы - действительные числа, то Вп может быть и действительным и комплексным пространством.
§15. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
115
В случае одномерного пространства В, векторы х и у суть числа, и оператор (2") превращается в функцию
у = апх.
Оператор (2") линейный. Это значит, что он удовлетворяет условию
А(ах + Р*') = оАх + рАж' для любых векторов х, х' е Вп и чисел ос, р. В самом деле,
л л л
?а,7(сх*;+рж;) = а^а^х; + р]Га1;*у ('-¦*. »>¦
7=1 7=1 7=1
Если матрицы Л = ||ам|| и В = ||ЬЫ|| равны, т. е. имеют равные соответствующие элементы аы = Ък1, то они определяют тождественно равные операторы:
Ах = Вх, Ухе Я„. (3)
Обратно, из равенства (3) вытекает, что
аы = ъи * = ••"
т. е. равенство матриц А и В (А = В). В этом легко убедиться, если положить в (3)
х = х1 = (0, .... О, 1, О.....О),
где 1 стоит на 1-м месте (I = 1, п).
Таким образом, различным матрицам А соответствуют различные операторы - если две матрицы А, и А2 отличаются хотя бы одним элементом, то обязательно существует вектор х, для которого
А,ж ф А2х.
Пусть, кроме А, задан еще другой оператор В, определяемый квадратной матрицей п-го порядка
в = НУ.
116
§15. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Каждому х е Нп соответствует при помощи оператора А вектор у е Д„, которому при помощи оператора В соответствует вектор г с компонентами, вычисляемыми по формулам
л
2н = ХьиИ (* = 1, п). 1=1
В результате получим сложный линейный оператор
г = ВАх (х е Дп), (4)
где
V1 V1 п ( п \ л
= 2А«^ = 2Л« 2Х*у = X - 2л*/*/
1=1 /=1 1=1 у'=1Ч<=1 ) 1=1
с матрицей ЦуД называемой произведением матриц В и А и обозначаемой так:
ВА = |у, (5)
где
П
У» = ХЬ*'а<> <л> / = 1. •••• «). (6) *=1
т. е. чтобы получить элемент у матрицы ВА (принадлежащий к ее Л-й строке и у'-му столбцу), надо элементы Л-й строки матрицы В умножить на соответствующие элементы у-того столбца матрицы А и результат сложить.
Определитель матрицы ВА равен произведению определителей матриц В и А:
\ВА\ = [В| |А|. (7)
Это свойство вытекает из формулы для произведения определителей (см. § 2, свойство к)).
Пусть матрица оператора А (см. (1)) имеет определитель, не равный нулю:
§15. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
117
д = |<д * о.
В этом случае (см. § 4, теорема 1) система уравнений (2), или, что все равно, операторное уравнение у = Ах имеет единственное решение же й при любом заданном у е В.п. При этом формулы, по которым находится х для заданного у е Лп, имеют вид
л
ХГ 0 = 1..... «)- (8)
8=1
Здесь
Ь/а = А./Д (8, у = 1, .... п) (9)
(см. § 4, (3')), где А'1 - алгебраическое дополнение элемента а . в определителе Д.
Впрочем, для нас сейчас важно только отметить, что числа Ь.. являются элементами матрицы
в = №,,11,
обладающей следующими замечательными свойствами:
ВАх = х Ух е Л„, (10)
АВу = у V у е Д„. (11)
В самом деле, произвольный вектор де е Д„ переходит посредством оператора А в некоторый вектор у, который переходит посредством оператора В обратно в х. С другой стороны, каждому уе Я соответствует при помощи оператора В (см. (8)) некоторый х и притом такой, что Ах = у.
