Высшая математика - Бугров Я.С.
ISBN 5-7107-8420-6
Скачать (прямая ссылка):
§22. САМОСОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР
16І
X X °ы х*хі (°«= <4')
А=1 1=1
Чтобы применить к ней полученные результаты, можно определить в связи с ней линейный оператор
У = Ах,
определяемый равенствами
п
У і = Xа**/ (І = 1.....п)-
;=1
В силу условия оы = а№ это самосопряженный оператор, и к нему применима теорема 1. На языке квадратичной формы теорема 1 может быть переформулирована следующим образом.
Теорема 2. Пусть задана квадратичная форма (4') в п-мерной системе координат ху, .... хп пространства і?п
с ортами Iі, »"
> хн1
V А=1
Существует прямоуголь-
ная система координат ^, Е,п с ортами х1, х",
образующими ортогональный базис
=х^
*=1
, и сис-
тема действительных чисел А,,.... Яп такие, что квадратичная форма (4') в этой системе есть сумма квадратов координат ^я вектора х, помноженных соответственно на числа X,:
X X °«хкхі= X кьі
(4"')
Л=1 1=1
я=1
168
§22. САМОСОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР
Переход от левой части (4"') к правой можно осуществить, если известны разложения векторов х1, хп по ортам i1, i". Пусть
= 5>
п
І"
в=1
(см. § 17, (7), где надо заменить а^, ак соответственно на Р , Xі). Так как і1, і" и х1, х" - ортонормированные базисы в Яп, то матрица
л = им
ортогональная. Мы считаем, что она известна. Один и тот же вектор х можно разложить по двум базисам:
я=1 ]=1
Но тогда
Х^*у = Х^ЇХ*8 - ХІХрл-
у=1 1 = 1 3=1 8=1^/=1
и в силу линейной независимости системы і1, іп получим
п 7=1
Таким образом, переход от координат Е,,, ^я к координатам ж1, хп осуществляется посредством матрицы Л', транспонированной к Л (т. е. с помощью строк матрицы Л' или столбцов матрицы Л).
Еели подставить выражения (11) для хг в левую часть (4"'), то должны получить правую. Запишем это равенство:
г
§22. САМОСОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР
169
*=1 1=1 і=1 1=1
( п
ХХоыХра&Хра = 222^ Х*«р«
1=1 1=1 к=1 \1=1
І>? - ХХ8^д-,
3=1
где 8
Го,
/=1 і=1
символ Кронекера.
Если приравнять коэффициенты при одинаковых то получим равенства
ХР/» Х°«р»
5А (і, у" = 1. •••> ")»
А=1 Ч'=1
которые можно трактовать следующим образом (см. § 15, (6)). Для матрицы
А = Ы (оы = а1к) самосопряженного оператора А существует ортогональная матрица
л = ПР>Л
такая, что
А-А-А-1 = Я, где 91 - некоторая диагональная матрица
(12)
(13)
л-! О 0...0 О 0...0
о о о...хг
(X, - действительные числа), называемая канонической.
170
§22. САМОСОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР
Отметим, что для ортогональной действительной матрицы л
л-1 = Л'.
Так как определители ортогональных матриц |Л| = = |Л_1| = ±1, то из (12) следует
П*у = МЧлЖ-М-И- (14)
Мы доказали, в частности, следующую теорему.
Теорема 3. Если определитель |А| самосопряженной матрицы А не равен нулю (|Л| * 0), то все ее собственные числа Л,,, Хп не равны нулю (Х/ Ф 0, у = 1, п).
Из теоремы 2 следует, что
1) Если Хх > ... > Хп > 0, то квадратичная форма положительная для любых векторов Е, * 0, а следовательно, и любых векторов х Ф 0. В этом случае она называется строго положительной.
2) Если 0 > Хх > Х2 > ... > Хп, то форма отрицательная для любых ? * 0, следовательно, и любых х Ф 0. В этом случае она называется строго отрицательной.
3) Если Х1 > ... > Хп и Хп = 0, то форма неотрицательная. Существует направление, (ось Е,п), вдоль которого она равна нулю. Это положительная форма, но не строго.
4) Если X, = 0 > Хх > ... > Хп, то форма отрицательная не строго.
5) Если Хх > 0, а Хп < 0, то форма неопределенна. Если исключить нулевую точку, то вдоль оси ^ она положительная, вдоль же оси ?п — отрицательная.
Оказывается, что по виду матрицы по знаку некоторых порождаемых ею определителей можно узнать, будут ли ее собственные числа все положительные, все отрицательные или среди них есть как положительные, так и
§22. САМОСОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР
171
.отрицательные. В этом заключается теорема Сильвестра1.
Составим ряд главных миноров квадратичной формы (Ах, х):
*21 "22
, Л =
' * П
41
Чп
1п1
Согласно теореме Сильвестра, которую мы не доказываем, имеют место следующие утверждения:
1. Если Д, > 0, Д2 > 0, Дп > 0, то форма строго положительна (случай 1)).
2. Если Д, < 0, Д2 > 0, Д3 < 0, (-1)ПД„ > 0, то форма строго отрицательная (случай 2)).
3. Если Ах > 0, Д2 > 0, .... Д„ > 0 или Д, < 0, Д2 > 0, (-1)"Д„ > 0
и имеется у, при котором Д; = 0, то форма заведомо не строго определенна.
4. Во всех остальных случаях квадратическая форма неопределенна.
Замечание1. Если Вп - комплексное пространство, а аы = а1к - по-прежнему действительные числа, то рассуждения, приведенные выше, мало отличаются. Формула (4') теперь записывается так:
п п п п
(х,Ах)= Х**Ха*'*' = ХХа«*л.
к=1 1=1 к=11=1
Число (х, Ах) остается действительным, потому что
п п п п л "
(х,Ах) = XX "и**** = XX а1кХк*1 = XX аыхкх1 =
к=11=1 Л=1/=1 А=11=1
1 Дж. Дж. Сильвестр (1814-1897) - английский математик.
172
§22. САМОСОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР
= (ж. Ах).
Это показывает, что приведенные выше факты (формулы (4')-(10)) остаются неизменными, в частности числа Хр
