Высшая математика - Бугров Я.С.
ISBN 5-7107-8420-6
Скачать (прямая ссылка):
п
пространству Ь все линейные комбинации ^ Хк ак, и тогда
к=1
получилось бы, что Ь совпадает с Ли, но Ь отлично от Ли. Полученная ортонормированная система о1, ат есть базис в Ь. В самом деле, вместе с векторами о1, ат
т
принадлежат к!и все их линейные комбинации Хк а*.
Но больше в Ь других векторов нет, потому что, если допустить, что некоторый вектор а е Ь не есть такая
§20 ЛИНЕЙНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА В Яп_149
линейная комбинация, то а можно было бы записать в виде суммы
т
к=1
где у ф 0. Так как векторы а и а* принадлежат к подпространству Ь, то пришлось бы заключить, что вектор
т
У = а - X ( а> а")а"
к=1
тоже принадлежит к Ь. Но вектор у ортогонален ко всем а" (в = 1, т) (см. § 17, (4)). Пронормированный вектор
ы
тоже принадлежал бы к Ь и был бы ортогональным ко всем а* (А = 1, .... т). Но это невозможно в силу максимального свойства числа т. Этим доказано утверждение а) теоремы.
Дополнение ортонормированной системы (4) до орто-нормированного базиса (5) осуществляется на основании теоремы 1 § 17. Обозначим через V подпространство всех
линейных комбинаций и = \1к ак из векторов системы
(6). Каждый такой вектор, очевидно, ортогонален к любому вектору и е Ь, который представляется в виде суммы
т
и = X ^-к а*- С ДРУгои стороны, если а е Яп есть произ-
вольный вектор, ортогональный ко всем векторам и е Ь,
в частности к а1.....ат, то его разложение по базису (5)
имеет вид
150
§20. ЛИНЕЙНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА В Rn
а= X (а, а*)а* = ( а, а*)а*, т. е. а е I,'. Мы доказали утверждение б) теоремы.
т
Далее, любой вектор и = л-л а* е I, ортогонален
ко
к=1
всем векторам и = Х^1*»* е и, если известно, что
*=т+1
Л
какой-либо вектор а = X ( а» а*)а* ортогонален
ко всем
векторам из L', в частности к ат+1, а", то а = X ( а> а*)а*>
т. е. а є L. Мы доказали утверждение в).
Наконец, если а є і?л - произвольный вектор, то его единственным образом можно представить в виде суммы
п
« = X (а» а*)°* = « + Ю,
где
m
u = Х<а' а*)а* є L> v = Х(а, а*)а* є ?,'.
*=1 ft=m+l
Этим теорема 1 доказана полностью.
Теорема 2. Пусть Ь есть подпространство т измерений в Ди. Тогда подпространство V а Дл, ортогональное к Ь, имеет п - т измерений и при этом Ь есть в свою очередь подпространство, ортогональное к Ь'.
_§20. ЛИНЕЙНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА В Яп_151
Доказательство. Если Ь отлично от В.п и от нулевого подпространства, то данная теорема содержится, очевидно, в теореме 1.
Пусть Ь есть нулевое подпространство. Так как любой вектор не Лл ортогонален к 0, то V = Яп и измерение Лп равно п - 0 = п. Обратно, вектор 0 ортогонален ко всем векторам а е Ип = Е. Других векторов, ортогональных ко всем векторам Бп, нет, потому что всякий отличный от 0 вектор уже не ортогонален к самому себе. Мы доказали, что Ь ортогонально к II.
Если Ь = Лл, то рассуждаем подобным образом.
Следствие 1. Пусть задана система векторов
х1, .... хт, (9)
и пусть Ь' есть подпространство векторов V, каждый из которых ортогонален к векторам этой системы:
(V, хк) = 0 (Л = 1.....т).
Пусть, далее, дан вектор а, ортогональный ко всем указанным векторам V, т. е. ортогональный к подпространству Ь'. Тогда а есть некоторая линейная комбинация из векторов заданной системы (9)
т
а = Xх*
Доказательство. Рассмотрим подпространство Ь, состоящее из всевозможных линейных комбинаций векторов системы (9), т. е. всякий вектор и е Ь есть некоторая линейная комбинация
т
" = Xя***"
к=1
В этом случае будем также говорить, что подпространство Ь натянуто на векторы системы (9).
152
§21. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМОВА ТИПА
Так как всякий вектор V є Ь' ортогонален к векторам системы (9), то он, очевидно, ортогонален к любому вектору и є Ь. Это показывает, что подпространство I! ортогонально к подпространству Ь. Но тогда по теореме 2 и Ь ортогонально к V, т. е. Ь состоит из всех векторов и, ортогональных к V. По условию а есть один из таких векторов и, следовательно, а есть некоторая линейная комбинация из векторов системы (9).
§ 21. Теоремы фредгольмова типа
В этом параграфе излагается теория линейных уравнений, параллельная теории, изложенной в § 4.
Это бездетерминантная теория. В ее формулировки определитель системы уравнений явно не входит. Преимущество ее заключается в том, что она послужила основой и аналогом для многих обобщений в математическом анализе. Первые такие важные обобщения принадлежат Фред-гол ьму1.
Мы снова рассматриваем линейный оператор (см. § 15) А:
у = Ах {х в Я„), (1)
приводящий в соответствие каждому вектору х е Лп вектор у е Дя при помощи равенств
Уг
п
Хай*ї {І = 1, Л).
(2)
«=і
Здесь
а11 °12
*п2
(3)
1 Э. И. Фредгольм (1867-1927) - шведский математик.
§21. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМОВА ТИПА
153
- заданная квадратная матрица. Оператору А соответствует сопряженный ему оператор
у = А*х (х є Я„), (1*)
определяемый сопряженной к (3) матрицей
А* =
°11 а21 ап1
а1п а2п ••• апп
(3*)
При помощи компонент векторов х, у он записывается в виде
У-, = Xа'/*' О' = 1» ••¦» ")> і=і
