Высшая математика - Бугров Я.С.
ISBN 5-7107-8420-6
Скачать (прямая ссылка):
Зададим произвольную систему из п линейно независимых векторов
а1 = (ап, а1п),
(ап1, .... апп).
(3)
Как мы знаем (см. § 14, теорема 1), система (3) линейно независима, если определитель
ф О.
(4)
Если же Д = О, то система (3) линейно зависима.
Согласно теореме 1 § 14 любые п + 1 векторов в пространстве Ип линейно зависимы, так как ранг матрицы из компонент этих векторов не превышает п. Поэтому, если а = (х,, хп) — произвольный вектор и система векторов (3) линейно независима (Д ф О), то система векторов а1, а", а линейно зависима, т. е. существуют числа /Ц, А.п, Х„+1, одновременно не равные нулю, такие, что
\а> + ... + Хпа" + Хя+1а = О,
где Хп+1 ф О (иначе система (3) была бы линейно зависи-
мой). Отсюда
-К
а
(5)
А=1
где х„ = -—— (А = 1, п). Выразим сумму (5) через
орты і* (см. (2)):
124
§16. БАЗИСЫ В Д„
п ( п \ п ( п
а = X** = Х ^аых'к
к=1 Ч/=1 ) /=1 \Л=1
С другой стороны, по (2)
/=1
В силу линейной независимости системы i1, »" коэффициенты при одинаковых векторах V должны быть равны
Х1 = Ха*'** С =
(6)
к=1
Таким образом, если компоненты х1 вектора а по системе известны, то компоненты л/4 этого вектора по
системе а1.....а" находятся из (6) и притом единственным
образом, так как определитель системы (6) есть А ф О.
Мы доказали, что, какова бы ни была линейно независимая система векторов а1.....а", любой вектор аейл
можно разложить по этой системе, т. е. представить в виде суммы (5), где х'1.....х" п - некоторые числа, определяемые из (6) и притом единственным образом.
В этом смысле систему векторов а1, а" называют базисом в Яп, желая этим сказать, что любой вектор не К можно представить в виде линейной комбинации (5) из этих векторов и притом единственным образом. Мы доказали, что произвольная линейно независимая система из п векторов в Яп есть базис в Яп.
Линейно независимая система из т векторов
а1 = (ап, а1т, а1т+1.....а1п),
а"' = Ка- атт, а атп),
§16. БАЗИСЫ В Д„
125
где т < п, не есть базис вйл. В самом деле, ранг матрицы компонент этих векторов равен т. Будем считать, что первые т столбцов этой матрицы образуют определитель, не равный нулю. Расширим эту матрицу, приписав к ней внизу строку
ат+1 = (О, О, 1, О.....О),
где 1 стоит на (т + 1)-м месте. Расширенная матрица имеет ранг т + 1, и, следовательно, система векторов а1, ат, ат+1 линейно независима. Но тогда вектор ат+1 не Может быть линейной комбинацией из векторов системы о1, .... ат, и эта система не есть базис в Лл. Обозначим через
а
111 "12
а
¦1п
ап1 ап2 ап
матрицу векторов (о1, а").
Переход от базиса (»'.....»") к базису (а1.....а") осуществляется при помощи матрицы А:
п
(7)
в=1
т. е. вектор а* выражается через векторы ?* с помощью к-я
строки матрицы А. Обратный переход от (о1, а") к (*'.....?")
происходит при помощи обратной матрицы Л"1 (см. § 15, (9))
п
- Хь»<а'
(в = 1..... п).
1=1
элементы которой вычисляются по формулам Ья1 =
(8)
Д '
где А1в - адъюнкт элемента аи в определителе Д (обратим
126
§16. БАЗИСЫ В Я„
внимание, что элемент Ья1, принадлежащий в-й строке и /-му столбцу, выражается через адъюнкт Аи элемента а1я, принадлежащего 1-й строке и в-му столбцу). Отметим еще, что
а
л я л л п I п
/=1 откуда
в=1
=1 /=1
/=1 \^=1
о',
х\ = Х^*»
(9)
я=1
т. е. переход от координат (ж,.....жп) к (ж',, ж'л) происходит
при помощи матрицы (см. § 3)
(А')' = (А)1.
Из (9) видно, что ж', выражается через ж,, жп с помощью 1-хо столбца матрицы А-1 или 1-й строки матрицы (Л-1)', транспонированной к А'1.
Далее по формуле (6)
х, = Xа'.*' (в = 1. п)
1=1
видно, что переход от (ж',..... х'п) к (ж,, жп) совершается
при помощи матрицы А' транспонированной к А, т. е. хв выражается через ж',..... х'п с помощью в-й строки матрицы А'
или я-го столбца матрицы А.
Замечание. В § 15 было установлено, что произвольная квадратная матрица
А =
*11
*1п
(Ю)
... а„
определяет линейный оператор у = Ах (х є Ля, у є Д(|), задаваемый по формулам
§16. БАЗИСЫ В й„
127
ук = Ха*Л (Л = 1' -» Л)"
(11)
/=1
Но имеет место и обратное утверждение: каков бы ни был линейный оператор у = Аж (дс € Лл, у е Яп)> он определяется некоторой матрицей (10) так. что вектор у = Ал; вычисляется по вектору ж по формулам (11).
В самом деле, пусть задан произвольный линейный оператор у = Ах (ж € Яп, у € Дл). Обозначим образы ортов i* при его помощи следующим образом:
А(і')
= ("і,- «2.- ¦-' О - Х"
(8 = 1,
й=1
Тогда в силу линейности А любой вектор
л).
х = ж,*1 + ... + ж„?" = X*. *"
я=1
отображается при помощи А в вектор у, определяемый равенствами
у = Аж = А
л »
Ч«=і
ї=і
л /* я я
- X*. X = X Xа*»*.
ї=1
й=1
А=1 Ч.=1
откуда следует, что к-я компонента у определяется по формуле (11). Таким образом, оператор А порождает матрицу (10), у которой в столбцах стоят координаты образов базисных векторов (ортов) при помощи оператора А.
Пример 1. Найти матрицу линейного оператора (преобразования) А, заключающегося в повороте векторов плоскости Д2, выходящих из начала, на угол а (0 < а < л/2) против часовой стрелки.
