Высшая математика - Бугров Я.С.
ISBN 5-7107-8420-6
Скачать (прямая ссылка):
Найдем максимум квадратичной формы (4') на сфере 5. Так как форма (4') есть непрерывная функция на замкнутом ограниченном множестве, то максимум ее на 5 достигается для некоторого единичного вектора х1 (|ж'| = 1). Обозначим этот максимум через Л.1:
X, = (Ах\ х1) > (Ах, х) Ух : |ж| = 1. (5)
Введем подпространство V, ортогональное к вектору ж1, т. е. множество всех векторов V, каждый Из которых
§22. САМОСОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР
163
ортогонален к х1. В L' возьмем произвольный единичный вектор v° (\v°\ = 1). Вектор
cos а • х1 + sin а • v°
зависит от а и имеет единичную норму |cos а • хх + sin а • и°1 =
= (cos а «ж1 + sin а-и0, cos а-ж1 + sin а • и°)1/2 =
= (cos2a + sn^a)1/2 = 1. При а = 0 этот вектор обращается в ж1. Но тогда функция
\|/(a) = (A(cos а • ж1 + sin а • if), cos а • ж1 + sin а • и0)
достигает своего максимума в точке a = 0 (\у(0) = (Ах1, ж1)) и в силу необходимого условия экстремума
г/(0) = 0.
Вычислим эту производную. Имеем у(сс) = cos2a(A«:1, ж1) + sir^aiAx1, ifi) + sin2a(Au°, v°).
Следовательно, Y(a) = -sin2a(Ac1, ж1) + гсовгаСАж1, i/>) + sin2a(Ai;0, u°) и
i/(0) = 2(AxK u°) = 0. Мы получили, что вектор Ах1 ортогонален ко всем единичным векторам i>° е L', следовательно, и к любым векторам v е V. Но тогда Ах1 отличается от ж1 лишь множителем (см. следствие 1 в конце § 20), т. е.
Ах1 = Хж1,
где X — некоторое число.
Из первого соотношения (равенства) в (5), учитывая, что |ж'| = 1, следует
1 См. нашу книгу «Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление», § 8.12. 6*
164
§22. САМОСОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР
X, = (Хх1, х1) = X.
Таким образом, мы доказали, что максимум квадратичной формы (4') на единичной сфере |ж| = 1 достигается в некоторой точке х1,
max (Ах, х) = (Ах1, ж1) = X,. 1*1=1
При этом
Ах1 = Хлх\ |*«| = 1.
Мы видим, что нетривиальный (не равный нулю) вектор хх отображается при помощи оператора А в вектор Ххх1, ему кол линеарный.
Такой вектор называется собственным вектором оператора А, а число Хх — принадлежащим этому вектору собственным значением.
Будем теперь рассматривать оператор А на подпространстве i?, определяемом как множество векторов х (е Лп), ортогональных к вектору х1 (выше мы его обозначали через L')- Л1 есть (п - 1)-мерное подпространство - в нем имеются ортонормированные базисы, состоящие из п — 1 векторов. Цель наша заключается в подыскании одного такого базиса, как мы увидим, естественно связанного с оператором А.
Важно подчеркнуть, что образ A(R}) подпространства R1 при помощи оператора А принадлежит к Л1, потому что, если (ж, х1) = 0, то
(Ах, х1) = (х, Ах1) = (х, = Хх(х, х') = О,
т. е. Ах е Л1.
Самосопряженность оператора А на Л1 тривиальным образом сохраняется, потому что равенство
(Ах, у) = (х, Ау),
верное для всех х, у е Rn, верно также для всех х, у е R1.
§22. САМОСОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР_100
Итак, мы теперь рассматриваем самосопряженный линейный оператор А на линейном подпространстве R1 измерения п - 1. К нему можно применить приведенные выше рассуждения и обнаружить в R} существование единичного вектора х2 такого, что
max (Ах, х) = (Ах2,х2) = Х2 < Хг |*2|=i
(*.*')=0 (д:2.*1)=0
Дело в том, что единичная сфера S1 в R} определяется, очевидно, как множество единичных векторов х, ортогональных к х1. При этом
Ах2 = Х2х2.
Мы нашли второй собственный вектор оператора А -вектор х2 и принадлежащее к нему собственное значение Х2, очевидно, не превышающее X, (при уменьшении области рассмотрения максимум может только уменьшиться). При этом (х1, х2) = О.
Подобным образом можно ввести подпространство R2, измерения п - 2, ортогональное к векторам х1 и х2, показать, что оператор А отображает Л2 в Л2 и определить третий единичный вектор х3, ортогональный к х1 и к х2 такой, что для него имеет место
max (Ах, х) = (Ах3, х3) = ^3
(ж.ж1)=0,(л,д:2)=0
И
АХ3 = /vgx3 (*3 < Хг < XJ.
Продолжив этот процесс по индукции до гс-го вектора х", мы получим ортонормированную систему векторов
ж1, ж2, ж" (6)
и систему действительных чисел
166
§22. САМОСОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР
Х1Г Х2, .... Хп, обладающих свойствами
Ах" =Хкх
(к = 1.....л),]
Хк >Хк_, >...>^. ]
(7)
(8)
Мы получили полную систему собственных векторов оператора А и принадлежащих им собственных значений. Так как ортонормированная система (6) принадлежит к Яп и состоит из п векторов, то она есть базис в Ип (см. § 17). Поэтому произвольный вектор х е Я„ можно разложить по этой системе:
/і
(9)
Тогда наш самосопряженный оператор А может быть записан следующим образом:
Ах = А
X (х, хк)хк = X < *• ****** = X Х* (*• **)**- <10)
^=1
Мы доказали теорему.
Теорема 1. Самосопряженному оператору А в пространстве Лп соответствует ортогональная система векторов х1,х" (базис і?п) и система действительных чисел Х1, Хп такие, что Ах для любого х є Яп представляется в виде суммы (10).
Квадратичная форма (4') соответственно записывается следующим образом:
(х, Ах) =
X (*.**>«*, Xх» = Xя* <*•**>2- <4">
\^=1
ї=1
я=1
На практике часто мы исходим из некоторой квадратичной формы
