Высшая математика - Бугров Я.С.
ISBN 5-7107-8420-6
Скачать (прямая ссылка):
а1121 + аол2
21*2
о,
0.
(8)
а1221 + «*2222
Покажем, что тогда ранги матрицы А и расширенной матрицы
В =
«И "12 Уі а21 а22 Уг
равны между собой. Если ранг А = 2, то, очевидно, ранг Б = 2. Пусть ранг А = 1. Всегда ранг В > ранг А=1. Поэтому нам необходимо доказать, что
Лі-
вії Уі
«2і Уг
- о, да
«*12 У\
«22 #2
= 0.
В самом деле, так как у ортогонален к решениям системы (8) (нетривиальным), то у1г1 + у#2 = 0- Поэтому, считая, что 21 Ф 0,
\=а1\У2 ~ а2\У\ = а1\У2 + «*21
У222
#2
(а^ + а21г2) = 0,
у222 У2
Д2=а12^2 _ "22^1 = «12^2 + °22 ~Т~ = Т ^1221 + "и2^ = 0'
21 -П
Отсюда следует, что ранг В = ранг А = 1. Обратно, пусть вектор у = (уг, у2) таков, что ранг В = =ранг А, тогда (1) имеет некоторое решение (х,, зс2). Дока-
§21. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМОВА ТИПА
159
жем, что у ортогонален к решениям г = (г,, г2) системы (8). В самом деле,
У121 + У222 = («41*1 + 012*2)21 + (°21*1 + а22*2)22 =
= (п,^, + а^г^дг, + (а122, + а2222)х2 = 0-х, + 0«хя = 0.
Теорема 2. Однородные уравнения
Ах = 0 (10)
А** = 0 (у)
имеют одинаковое число линейно независимых решений.
В частности, если одно из этих уравнений имеет только тривиальное решение 0, т. е. имеет нуль независимых решений, то это верно и для другого.
Замечание. В последнем случае уравнение (1) имеет единственное решение.
Доказательство. Матрицы А и А* имеют один и тот же ранг, который обозначим через А. Они имеют также один и тот же определитель Д.
Если А = п, то Д Ф 0 и уравнения (10) и (10*) имеют только тривиальные решения 0. В этом случае, согласно теореме 1, уравнение (1) имеет единственное решение при любых у е Лп.
Пусть теперь 1 < А < п. После соответствующей перенумерации уравнений и компонент определитель
а
її
* 0.
*А1
Первые А уравнений (1°) теперь запишем в виде
160
§21. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМОВА ТИПА
а11х1 +'" +а1кхк ~ ~а1,к+1Хк+1 аЫхп'
ак1х1 + • • • + °-ккхк — ~ак,к+1хк+1 акпхп'
Ниже приводится таблица п — к векторов
х ~ (хх, .-.» хь* 0» •.. > 0), х2 = (х2,...,хгк,0, 1, 0....0),
х?1 — (%\ ^» • • •» зс^ 9 0> • * • * 0»
(9)
(Ю)
Чтобы получить первый вектор, подставляем в систему (9)
= 1. хм = 0.....Хп = 0
и решаем ее относительно хг, хк. Единственные решения, которые здесь получаются, обозначим через х\> •¦•>
х\ • Чтобы получить второй вектор, подставляем в (9)
с*+і 0» хк^2 1, хлп
.2 „2
0.....х = 0
и находим числа х\, х\ и т. д. Векторы (10) обладают
следующими свойствами.
1) Система векторов (10) линейно независима, потому что ранг матрицы этих векторов равен числу этих векторов ц = п - к.
2) Каждый вектор системы (10) есть решение (любыхф уравнений (20) или Ах = 0.
3) Всевозможные решения уравнения Ах = 0 имеют вид
Ххх1 + ... + К-к*"'"* где Ху, Хп_к — произвольные числа.
§22. САМОСОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР
161
Обычно эти три утверждения заменяют словами: уравнение (10) имеет п - к линейно независимых решений.
Подобными рассуждениями, учитывая, что ранг А = =ранг А*, доказываем, что уравнение А*х = 0 тоже имеет п — к линейно независимых решений. Теорема доказана.
Теорема 3. Если одно из однородных уравнений (10) или (10*) имеет А линейно независимых решений, то и другое имеет А линейно независимых решений; образы же Ь = А(Рьп) и!'= А*(Дл) пространства йп, получаемые при помощи операторов А и А*, суть подпространства п — к измерений.
Доказательство. Первое утверждение теоремы о равенстве количеств линейно независимых решений однородных уравнений (10) и (10*) есть теорема 2, а второе -есть лемма 1, в силу которой измерение подпространства Ь равно п — к, где к — измерение подпространства V векторов г, удовлетворяющих уравнению А*г = 0. Аналогично измерение и равно п — к, где к — количество измерений подпространства векторов и, удовлетворяющих уравнению Аи = 0.
§ 22. Самосопряженный оператор. Квадратичная форма
Линейный оператор
п
ук = ^аых, (А = 1, .... п) (1)
*=1
или, коротко,
у = Ах (х є Д„, у є Д„) (2)
называется самосопряженным, если он равен своему сопряженному (А = А*), т. е. если 6 Бугров. Т. 1
162
§22. САМОСОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР
Ах = А*х Ух е Дп, (3)
иначе говоря, если матрица А симметрическая:
аы = аи (А, I = 1, —, «) (4)
(см. (3) и (3*) § 21). Мы считаем аы и йп действительными (см. ниже замечание 1).
Для самосопряженного оператора имеет место характерное равенство
(ж, Аг) = (Ах, г) Ух, гей
(см. § 21, (4)). Очевидно,
п п п п
(х, Ах) = 2**?а*Л - К, = ««*)• (4')
Л=1 /=1 Л=Ы=1
Выражение справа в (4') называется квадратичной формой п-го порядка. Это непрерывная функция от вектора х или, что все равно, от переменных хж, хп.
Будем рассматривать эту функцию на множестве 5 значений х, имеющих единичную норму (|ж| = 1). Множество 5 есть сфера в Вп радиуса 1 с центром в точке 0. 5 — ограниченное множество. Кроме того, оно замкнуто *): если точки последовательности {ж*} (\ = 1, 2, ...) принадлежат к Б (т. е. |ж*| = 1, V = 1, 2,...) и эта последовательность стремится к некоторой точке х° е Я (ж* —> Х°, V —> °°), то неминуемо х° е 5, т. е. |ж°| = 1, потому что |1 -И = |И - И < |ж* - ж°| -> 0, откуда И - 1-
