Высшая математика - Бугров Я.С.
ISBN 5-7107-8420-6
Скачать (прямая ссылка):
128
§17. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ В Д„
Рис. 34
Возьмем за базис векторы і1 = = (1, О), і2 = (О, 1). Тогда, очевидно, что (рис. 34)
А(Р) — (cos a, sin а),
A(i2) — (-sin а, cos а).
Поэтому матрица нашего оператора имеет вид
А =
cos а ^since
-since
cos а
§ 17. Ортогональные базисы в Нл
Говорят, что два ненулевых вектора ж, у е Яп, имеют одинаковое (одно и то же) направление, если существует положительное число X такое, что х = Ху.
Произвольный ненулевой вектор х е Дп можно, как говорят, нормировать, заменив его на единичный вектор
У = щ* Ы - 1),
имеющий то же направление, что и вектор х.
Единичный (имеющий норму (длину), равную 1) вектор называют нормальным.
Два вектора х и у в пространстве Яп называют ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю: (ж, у) = О.
Здесь Дл может быть действительным или комплексным. В случае комплексного Нп скалярное произведение определяется, как в § 6, (5').
Система векторов
ж1, ... х" е Д„ (1)
называется ортогональной, если любые два ее вектора ортогональны. Система векторов (1) называется ортогональной и нормальной или ортонормированной, если
§17. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ В Дп
129
[1, л = і
<*\*0~8И=|0> кф1 (КЛ = 1. .... у»,
т. е. все векторы системы нормальны и попарно ортогональны. Если система векторов (1) ортогональна и ни один вектор системы не равен нулевому, то, нормируя их, получим, очевидно, ортонормированную систему. Ортонор-мированная система (1) линейно независима. В самом деле, пусть
Х^1 + А,2ж2 + ... + А.уж* = О,
где \, Ху - числа. Умножив это равенство скалярно на ж", получим, очевидно,
Хв(ж% х") = Хг = 0 (8=1..... V).
Но тогда ортонормированная система из п векторов в /?п есть базис и, следовательно, каждый вектор о є Дп можно представить в виде линейной комбинации
п
а= ?Х*ж*. (2)
й=1
Умножая это равенство скалярно на ж*, получим
(а, х') = Ха (в = 1..... п)
и, следовательно,
п
а — 5^ (а, хк)хк, V о є Яп.
*=1
Число (а, ж*) (|**| = 1!) называется проекцией вектора а на направление вектора ж*.
В реальном действительном пространстве Д3 величина (а, ж*) есть обычная числовая проекция вектора а на направление вектора ж*.
5 Бугров. Т. 1
130
§17. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ Б Д„
Теорема 1. Ортонормированную систему векторов
Ж1, Xі, ху (V < п)
можно пополнить до ортонормированного базиса в Rn. Иначе говоря, можно указать векторы xv+1, хп такие, что система
Xі, жу, жу+1, ж" (3)
будет ортонормированной и, следовательно, будет базисом в Rn.
Доказательство. Так как v < п, то в Rn существует вектор о, не зависящий линейно от х1, jcv. Но тогда
у
о = ^(а, ж*)ж» + у,
где у ф 0. Вектор у ортогонален ко всем векторам ж1, ж*. В самом деле,
V
(у, ж») = (о - (а, ж*)ж*, ж") =
*=i
= (а, ж») - (а, ж') = 0 (4) (s = 1, V).
Пронормировав у, получим вектор
(к+Ч = і),
и система
Лг у • • ¦ у Лг у Л-
будет ортонормирована. Если V + 1 = п, то мы получили базис в Rn. Если нет, то этот процесс продолжаем. На (п — у)-м этапе получим базис (3) в Rn.
§17. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ В Rn
131
Система ортов осей в Rn
11 = (1, 0, 0.....0, 0),
12 = (0, 1, 0.....0, 0),
i" = (0, 0, 0, .... 0, 1)
может служить примером ортонормированного базиса в Rn.
Произвольный вектор а = {х17 хп) е Rn разлагается по ортам следующим образом:
»
а = ж,»1 + ... + xnin = X****'
k=l
(5)
на
где хк = (а, »*) (А = 1..... п) - проекция вектора а
направление орта i*.
Пусть задана некоторая определенная ортонормирован-ная система из п векторов
а1 = (Оц, • •., <*!„)» а" = (ап1,а„„).
(6)
или
(7)
«=1
Переход от векторов (I1, .., »") к (о1, .... а") здесь осуществляется при помощи матрицы
Л =
*11 • • ¦ "in
(8)
т. е. вектор о* выражается через і1, .... і" с помощью А-й
строки матрицы Л.
5*
132
§17. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ В Rn
В дальнейшем мы считаем пространство іїл и матрицу Л действительными (см. далее замечание 1).
Матрица Л ортогональна, т. е. обладает следующим свойством:
п
Xа»*я* = 5« (А' ' = 1' •"' «)¦ (9)
В самом деле, так как в данном случае система а1, а" ортонормирована, то
( п
5„ = (а*, а')
^s=l г=1 У
= X Xа*» ^fr) = XXе»»аа = Xа»*а*- (10>
S=l Г=1 S=l Г=1 s=l
Мы видим, что и, обратно, ортогональность матрицы (8) влечет за собой ортонормируемость системы векторов а1, о", определенных по формулам (7).
Это показывает, что формулы (7), где ||aj| - произвольные ортогональные матрицы, определяют все возможные ортоноржированные базисы в Rn.
Помножим вектор »' на вектор а* скалярно:
(?', о*) = а„. (11)
Отсюда
» п
*=і й=і
Таким образом, переход от базиса (а1, а") к базису (і1, і") осуществляется при помощи матрицы Л', транспонированной к Л. Так как преобразование (12) обратно преобразованию (7) (см. § 15), то мы попутно
§17. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ В Дп
133
доказали, что ортогональная матрица Л обладает следующим замечательным свойством (в действительном Нп):
Л1 = Л'. (13)
Из (12)следует (
Xа»»"8 'Ха^аГ
Vs=l
г=1
= X Xа»» а«{а°- а°= X а«* а*- (14)
