Высшая математика - Бугров Я.С.
ISBN 5-7107-8420-6
Скачать (прямая ссылка):
Подобная терминология употребляется и в случае п-мерных пространств.
Пусть а и Ь — векторы трехмерного пространства (действительного!), определяемые в системах координат с ортами (*\ і2, і3) и О'1» І2' І3) следующим образом
а = аХі і» + аХг р + аХз ? = аУір + ау2 р + ауз р,
Ь - ЬХі і1 + ЪХ2 і* + ЬХз і3 = ьУ1р + ъУ2 р + ьУз р. Имеет место равенство
з з
аЪ = Ха*А. = Х°*Лг •
«=1
г=1
показывающее, что скалярное произведение инвариантно относительно преобразований прямоугольных систем координат.
В самом деле, так как системы векторов (і1, і2, і3) и (у1, р, р) ортонормированы, то они преобразуются по формулам (1), где ||аАЛ - некоторая ортогональная матрица. Компоненты вектора а (ах1, аЛ, ах3) преобразуются в компоненты (а,,, ау2, а^) при помощи той же матрицы (см.(2)). Поэтому
з з ( 3 3
Xа* Аг = X Ха«а*. Х0^
Г=1 г=1\з=1 v=l
3 3
«=1 У=1
( 3
аЬ.
в=1
(3)
Мы доказали инвариантность скалярного произведения аЪ вычислительным путем. Впрочем, из другого, геометрического определения скалярного произведения векторов (направленных отрезков), в силу которого аЪ = |Ь]-прьа, непосредственно видно, что это число есть инвариант — ведь это
140
§18. ИНВАРИАНТНЫЕ СВОЙСТВА
определение не связано ни с какой системой координат.
Что касается векторного произведения а х Ъ, то оно инвариантно относительно прямоугольных систем координат с одинаковой ориентацией. В системах, имеющих орты (і1, іг, і3) и С/1» рг р)> векторные произведения выражаются следующим образом:
Iа xbV,i2,i3
В силу формул (1) и (2)
і1 і2 І3
а*з
к К &*3
І1
°*2 а*з
к К &*з
2>u*s ЇХ*8 i>s*s
s=l s=l s=l
3 3 3
X02^. Хазл»
я=1 я=1 я=1
3 3 3
Х°іАв Х°2»ь*. Хаз*ч
s=l
s=l
я=1
*1 °*2 "»«
ь„. &,„ ь„„
¦*1 *2 *3
«11 «12 «13
«21 «22 «23
«31 «32 «33
= +
і1 і2 І3
а*г =
**з
+ [ах6]., 2 з ,
(4)
§19. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ 141
где надо поставить знак + или — в зависимости от того, будет ли определитель |а(А| равен +1 или -1, что все равно, меняет или нет рассматриваемое преобразование координат ориентацию.
При перемножении определителей мы в данном случае пользовались следующим правилом: элемент у^ матрицы произведения ЦуЛ определяется как произведение 1-й строки первого определителя на А-ю строку второго (см. § 2, свойство к)).
Итак, мы доказали вычислительным путем, что векторное произведение двух векторов инвариантно относительно преобразований прямоугольных систем координат, не изменяющих их ориентацию.
Преобразования (3), (4) интересны тем, что они обобщаются на случай, когда роль вектора а играет важный в математичес-
ком анализе символический вектор V
§ 19. Преобразование прямоугольных координат в плоскости
Рассмотрим плоскость R2, где задана прямоугольная система координат xlt х2. Пусть
i1 = (1, 0), і2 = (0, 1)
- орты осей х1г х2. Орты і1, і2 образуют ортонормирован-ный базис в R2.
Произвольный единичный (нормальный) вектор Ь1 может быть записан следующим образом:
б1 = (cos a, sin а) (0 < а < 2л).
Единичный ортогональный (перпендикулярный) к Ь1 вектор, который мы обозначим через Ь2, может соответ-
тс тс
ствовать только либо углу а + —, либо а - —. Так как
142 §19. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ
соб
СОЭ
( л1 Г «Ї
Iа 2 І = зіпі а_"2~| = -соя а,
то всевозможные ортонормированные системы б1, Ъ2 в Д2 определяются либо равенствами (рис. 35)
6і = і1 соэ а + і2 эт а, I Ь2 = -і1 эт а + і2 соб а
(О < а < 2л),
(1')
соответствующими вращению осей около начала на угол а и сохранению ориентации, либо равенствами (рис. 36)
6і = і1 соб а + і2 эт а, | Ь2 = і1 эт а - і2 соб а, І
(1")
соответствующими вращению осей около начала на угол а и изменению ориентации.
Оба преобразования объединяются в следующей формуле:
Ь1 = а11і1 + а,2і2, Ь2 = сс^ + а^і2,
(1)
Рис. 35
Рис. 36
§19. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ 143
где матрица преобразования
|аи а12 ^
а21 а22 II
ортогональна (сумма квадратов элементов каждой из ее строк или столбцов равна 1, а скалярное произведение двух разных строк или столбцов равно 0).
Любое определенное ортогональное преобразование (1) есть на самом деле одно из преобразований (1')э (1") при некотором а.
Из (1) в силу ортогональности матрицы (2) следует, что
= ацб1 + а2162,
і* =
2 = «іг^1 -а22Ь2,\
(3)
и мы получили преобразование, обратное преобразованию (1), с матрицей
«и а21 а19 а,
= Л',
*12 "22
сопряженной К Л.
Зададим в плоскости произвольный вектор (точку) а. Пусть он имеет в старой и новой системе координаты {хи х2) и (я'р х?2). Тогда
а = хх11 + х21г = ж',61 + ж'2&2. (4)
В силу формул (3) и (4)
х'1Ь1 + х'2Ь2 = + а21Ь2) + х2(а12Ы + а2262) -
= (апж, + а12ж2)Ь' +(а21ж, + а^ддь2. Поэтому, приравнивая компоненты при одинаковых ортах б1, б2, получим
х\ - «11*! + сс12х2,1
х2 = а21Х1 + а22Х2'\
144 §19. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ
§20. ЛИНЕЙНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА В r„_145
= xi +х[ cosa + х'2 sin a, х2 = х2 + х[ sin a - х'2 cos a
(7")
(матрицы коэффициентов при х\ и х?2 в (7') и (7") соответственно транспонируют (1') и (!"))•
