Высшая математика - Бугров Я.С.
ISBN 5-7107-8420-6
Скачать (прямая ссылка):
ления оси у (см. рис. 26, где показана динамика процесса). В первом случае мы будем говорить, что пара векторов (а, Ъ) ориентирована как система координат х, у, а во втором, что пара {а, Ь) ориентирована противоположно ориентации х, у (как это случилось на рис. 26).
11.2. Трехмерная система координат. Прямоугольные системы координат х, у, г в пространстве, изображенные на рис. 27 и 28, тоже различны. Рассматривая систему координат рис. 27 как твердое тело, можно после соответствующего его передвижения совместить оси х и у обеих систем координат. Но положительное направление оси г первой системы не совпадает с положительным направлением оси г второй системы. Мы говорим, что систе-
96
§12. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
вправо. В первом случае система координат называется левой (рис. 27), а во втором - правой (рис. 28).
Векторы а, Ъ, с называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или же находятся в параллельных плоскостях.
Возьмем систему некомпланарных векторов а, Ъ, с, приложенных к некоторой точке А. Будем вращать в плоскости векторов а и Ъ вектор Ь вокруг точки А до тех пор, пока Ъ не окажется перпендикулярным а. Во время движения будем следить, чтобы угол между а и Ь все время не равнялся нулю и п. После этого будем вращать вектор с около А с целью придать ему направление, перпендикулярное векторам а, Ь. При этом будем следить за тем, чтобы вектор с ни на один момент не совпал с плоскостью векторов а и & В результате векторы а, Ъ, с окажутся перпендикулярными. Теперь перенесем эту тройку как твердое тело в точку О и будем ее вращать вокруг точки О с целью, чтобы векторы а и & получили соответственно направления осей х, у. Может оказаться два случая: 1) вектор с будет направлен как положительная ось г, 2) он будет направлен в противоположную сторону. В первом случае будем говорить, что система векторов а, Ь, с ориентирована как система координат х, у, г, а во втором — она ориентирована противоположным образом (см. соответственно рис. 27 и 28).
§ 12. Векторное произведение
12.1. Два определения векторного произведения. Зададим в некоторой прямоугольной системе координат трехмерного действительного пространства векторы
11 = (°х> °у' Ь = (Ьх> Ьу' Ьг)
и назовем векторным произведением а и Ь вектор
§12. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
97
с=ахЬ = [ахЬ] =
- (ауЪг - агЬу)і + (а А - а А)/ + {ахЪу - ауЬх)к =
і І к
В качестве последнего члена этой цепи написан «обобщенный определитель», первая строка которого состоит из векторов і, /, Ь (ортов системы координат). Во втором члене показано, как этот обобщенный определитель понимать (определитель третьего порядка мы разлагаем по элементам первой строки так, как если бы і, /, к были числами).
Очевидно, что [а х (-Ь)] = -[а x Ь].
Векторное произведение векторов а и Ь можно также определить следующим образом:
1) если а и Ъ коллинеарны, то их векторное произведение равно нулевому вектору;
2) если а и Ь не коллинеарны, то вектор с направлен перпендикулярно к а и Ъ и притом так, что система (а, Ъ, с) ориентирована так же, как данная система координат. Длина же вектора с равна
И = \а\ |Ь|біп со (0 < со < л). (2)
где со есть угол между а и Ъ, т. е. длина с равна площади параллелограмма, построенного на векторах а и Ь (рис. 29).
Докажем эквивалентность сформулированных двух определений.
Если вектор с = 0, то из (1) следует, что компоненты векторов а и Ъ пропорциональны
а : а : а = Ъ : Ь_ : Ь,,
хуг хуг'
4 Бугров. Т. 1
98
§12. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
Рис. 29
т. е. а и Ъ коллинеарны, но тогда векторное произведение и по второму определению равно нулевому вектору. Обратно, если а и Ь коллинеарны, то по второму определению а х Ъ = 0. Так как компоненты векторов а и Ь при этом пропорциональны, то, согласно первому определению, с = 0.
Пусть теперь а и Ь — неколлинеарные векторы и с — их векторное произведение согласно (1). Очевидно, что
(с, о) = (ауЬг - агЬу)ах + (а Ъх - ахЬг)ау + (ахЪу - аД)а = 0
и аналогично
(с, Ь) = 0.
Итак, вектор с перпендикулярен к а и Ь.
Докажем, что система векторов (о, Ь, с) ориентирована так же, как система координат х, у, г. Будем непрерывно вращать векторы а и Ь вокруг точки О, каждый раз вычисляя по ним вектор с, но так, чтобы все время а и Ь были неко л линеарными. Но тогда вектор с все время будет ненулевым (с 0) и система (а, Ь, с) все время будет некомпланарной. Совершим такие повороты, чтобы векторы а и Ъ получили направления соответственно осей х и у, т. е. чтобы они имели вид а = (\а\, 0, 0), Ь = (0, |Ь|, 0). Этого всегда можно достигнуть, потому что в данном случае плоскость векторов а, Ь может вращаться в пространстве. Но тогда вектор с,-вычисленный по формуле (1), имеет
§12. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
99
вид с = (0, 0, \а\ Щ). Мы видим, что векторы (а, Ь, с) в последний момент нашего процесса ориентированы так же, как оси (х, у, z). Но тогда, согласно определению ориентации (см. § 11) и исходная система а, Ъ, с ориентирована так же, как система координат х, у, г.
Итак, векторное произведение с = ах Ь, определенное по формуле (1), есть вектор, перпендикулярный к векторам а и Ъ и система векторов (а, Ъ, с) ориентирована так же, как рассматриваемая система координат х, у, г.
