Высшая математика - Бугров Я.С.
ISBN 5-7107-8420-6
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 23
90
§10. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
есть уравнение прямой, проходящей через точку О,0 = (х0, У с 2о) и направленной в сторону вектора а.
На языке координат уравнение (1) распадается на три уравнения:
х-х0 = у-у0 =Ьа2, г-г0= іа3.
Исключая из них параметр г, получим уравнения прямой (систему из двух уравнений)
*~*о = У~Уо _ г-г0 а1 Ог од ' <1Я)
где числа а1? а2, а3 одновременно не равны нулю. Уравнения (1") называются уравнениями прямой в каноническом виде.
Замечание. Может случиться, что одно или два из чисел а1, а2, а3 равно нулю. Тогда все же принято писать равенства (1") с нулем или двумя нулями в знаменателях. Такая запись становится тогда символической, но она удобна.
Пример 1. Уравнения
х-1 у -2 г-З 1 ~ 0 2
(2)
определяют прямую в пространстве, проходящую через точку (1, 2, 3) в направлении вектора (1, 0, 2).
Эти уравнения можно заменить на следующие им эквивалентные:
у - 2 = 0-(х - 1), 2(*-1)=г-3,
т. е.
у = 2, г = 2х + 1. (2')
§10. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
91
Таким образом, рассматриваемая прямая есть пересечение двух плоскостей, определяемых уравнениями (2").
Пример 2. Уравнения прямой
х-1 _ у-2 _ г-З 1 ~ 0 ~ 0 эквивалентны следующим:
у - 2 = 0, 2-3 = 0.
10.2. Расположение двух плоскостей. Пусть заданы уравнения двух плоскостей
Ах + Ву + Сг + Р = 0, (3)
А'х + В'у + Сг + 1У = 0. (4)
Если коэффициенты первого из них соответственно пропорциональны коэффициентам второго (А : В : С = А': В1 : С), то плоскости (3) и (4) параллельны или даже совпадают (при условии А : В : С : Г> = А' : В' : С : &) (см. § 9, (17) и (18)). В противном случае плоскости (3) и (4) пересекаются по прямой. В этом случае один из определителей
А В А С в с
А' В' 9 А' С > В' с
не равен нулю. Для определенности будем считать, что первый
* 0.
(5)
А В А' В'
Тогда уравнения (3), (4) можно решить относительно х и у, и мы получим
х = аг + и, у = $г + v,
(6)
92
§10. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
где а, р, д, v - некоторые числа. Уравнения (6) эквивалентны следующим:
х-ц У-\у г
Мы видим, что при условии (5) уравнения двух плоскостей (3), (4) определяют прямую (7), т. е. геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям (3), (4). Она проходит через точку (р., v, 0) и имеет направление вектора (ос, р, 1). Числа а, р или одно из них могут быть равными нулю, тогда уравнения (7) будут иметь символический характер.
Пр им ер 3. Прямая, определяемая уравнениями х = 0, у = 0, есть, очевидно, координатная ось г. К этому результату можно прийти и формально. Имеем
х=0-г, у = 0-2,
откуда
— = И. - — 0 ~ 0 ~ 1 '
т. е. мы получили уравнения прямой, проходящей через начало координат (0, 0, 0) в направлении вектора (0, 0, 1). Ясно, что эта прямая есть ось г.
П ример 4. Найти угол между прямыми
х-хх _У-Уі _г-г1 аі &і сх
*~*2 _ У-Уг _ г-г2
(8)
О)
«2 »2 с2
Векторы г, = (ах, Ьх, сх), г2 = (а2, Ъг, с2) лежат на наших прямых и, как мы условились, они приложены соответственно к точкам (д^, ух, 2,), (х2, у2, 22). Поэтому угол ф
§11. ОРИЕНТАЦИЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ СИСТЕМ КООРДИНАТ 93
между этими векторами и будет углом между прямыми (8) и (9):
ага2 + Ъ1Ъ2 + С1С2 СОЗф== к1|г2|
ЗАДАЧИ
1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку (2, -1, 0) перпендикулярно к плоскости 2х + г - 4(/ = 7.
2. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (1, -1, 2) и перпендикулярной к прямой, определяемой уравнениями 2х + Зу = 1, Зж - 2 = 1.
§ 11. Ориентация прямоугольных систем координат
11.1. Двумерная система координат. На рис. 24 и 25 изображены системы координат х, у. Они различны - про них говорят, что они ориентированы противоположно. В случае рис. 24 поворотом оси х вокруг точки О
х А
Рис. 24 Рис. 25
на угол л/2 можно совместить направление осей х и у, лишь если этот поворот совершить против часовой стрелки. В случае же рис. 25 этой цели можно достичь, лишь поворачивая ось х по часовой стрелке. Невозможно систему координат, изображенную на рис. 24, передвигая ее в рассматриваемой плоскости (!) как твердое тело, совме-
94 §11. ОРИЕНТАЦИЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ СИСТЕМ КООРДИНАТ
У* ь
Ъ а /
\? V
%
\ \
о'
У'1
о
а
х
а
Рис. 26
§11. ОРИЕНТАЦИЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ СИСТЕМ КООРДИНАТ 95
Рис. 27 Рис. 28
мы рис. 27 и 28 ориентированы противоположно. Система рис. 27 называется левой системой координат, а система рис. 28 - правой системой координат. Если винт с правой (левой) нарезкой ввинчивать по направлению оси г, поворачивая его по стрелке рис. 28 (рис. 27), то он будет двигаться поступательно в этом направлении. Можно также распознавать систему координат по следующему правилу. Если смотреть из какой-либо точки положительной полуоси Ог на положительную полуось Оу, то положительная полуось Ох может быть направлена влево или
стить с системой, изображенной на рис. 25, так, чтобы направления соответствующих осей совпали.
На рис. 24, так же как на рис. 25, изображена пара неколлинеарных, выходящих из некоторой точки А векторов а и Ъ. Передвигая эту пару как твердое тело в плоскости, достигнем того, чтобы точка А совпала с началом координат О. Поставим себе задачу путем вращения каждого из векторов а и Ъ вокруг точки О достигнуть того, чтобы вектор а принял направление оси х, а вектор Ъ оказался лежащим на оси у. При этом мы требуем, чтобы во время этого процесса векторы а и Ь все время находились в рассматриваемой плоскости и чтобы угол между ними не был равен 0 и л. Очевидно, всегда можно достигнуть этой цели. Вначале мы вращаем систему векторов а и Ь как твердое тело около точки О до совпадения вектора а с положительным направлением оси х. Так как векторы а и Ь не коллинеарны, то вектор Ъ окажется в верхней или нижней полуплоскости. Затем вектор Ь поворачиваем на необходимый угол, чтобы он оказался на оси у, при этом не разрешается, чтобы вектор Ь попадал на ось х. Поэтому может случиться, что направление вектора Ь совпадает с направлением оси у (это возможно, когда вектор Ь был в верхней полуплоскости) или же вектор Ь окажется направленным в сторону отрицательного направ-
