Высшая математика - Бугров Я.С.
ISBN 5-7107-8420-6
Скачать (прямая ссылка):
Нам еще надо доказать формулу (2). Пусть векторы а и Ь образуют с осями координат углы, соответственно равные а, р, у и а', Р\ у. Так как
ах = |a|cos a, ау = |a|cos Р, аг = |a]cos у, Ьх = |6|cos a', by = |6|cos P', bz = |6|cos Y,
to
M2 = (ajb, - azbyy + (агЪх - ахЪгУ + (axby - aybxf =
= |a|2|fe)2[(cos P cos Y - cos у cos P')2 + +(cos ycos a' - cos a cos Y)2 +(cos a cos P' - cos Pcos a')2]= = |a|2|6)2[(cos2a + cos2P + cos2?) x x (cos2a' + cos2P' + cos2/) -- (cos a cos a' + cos P cos P' + cos у cos y*)2] =
= H2|b|2[l • 1 - cos2co] = |a|2|b|2sin 2a>,
где со — угол между векторами a и b (cos со = cos a cos a' + + cos P cos P' + cos у cos У). Итак, мы доказали (2).
Таким образом, мы полностью доказали, что из определения векторного произведения по формуле (1) следует второе его определение.
Обратно, если вектор подчиняется второму определению, тогда он единственный, потому что может быть только один вектор, перпендикулярный к а и Ь, длина которого равна площади параллелограмма, построенного на
4*
100
§12. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
а, Ь, и притом такой, что система (а, Ъ, с) ориентирована так же, как система х, у, г. Но тогда это есть вектор с, определенный по формуле (1), потому что последний, как мы убедились, обладает указанными свойствами.
Отметим еще раз, что условие а х Ъ = 0 есть необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов а и Ь.
12.2. Геометрический смысл определителя второго порядка. Рассмотрим теперь специально два ненулевых плоских вектора
Ъ = (К, \) (3)
а " К' ау) »
в некоторой прямоугольной системе координат х, у (рис. 30, 31). Будем считать, что рассматриваемая плоскость находится в пространстве и добавим к осям х, у
Рис. 30
Рис. 31
перпендикулярную к ним ось г. Векторы а, Ъ будут теперь иметь координаты
« = К» ау, 0),
Ь = (Ьх, Ьу, 0).
Векторное произведение их равно
а х Ъ
ах "у
к,
(4)
§12. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
101
где к - орт оси г. По определению векторного произведения система (а, Ъ, с) ориентирована, как система координат х, у, 2. Поэтому, очевидно, если определитель
а.
> о,
то система векторов (а, Ь) должна быть ориентирована, как оси координат (х, у). Если же определитель
а, а.
< о,
то система (а, Ь) ориентирована противоположно ориентации х, у. На рис. 30 изображена первая ситуация расположения векторов (о, Ь), а на рис. 31 - вторая. Мы знаем также, что площадь параллелограмма, построенного на векторах а и Ь, равна (см. (4))
И
у
Ьг Ъ,
т. е. абсолютной величине определителя
Д =
аг а.
(5)
Итак, мы доказали, что: 1) абсолютная величина определителя (5) равна площади параллелограмма, построенного на векторах а = (ах, ау) и Ъ = {Ьх, Ьу)\ 2) знак определителя (5) зависит от расположения этих векторов относительно прямоугольной системы координат х, у. Знаку + соответствует система (а, Ъ), ориентированная, как х, у, а знаку — соответствует система (а, Ь), ориентированная противоположным образом.
102
§12. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
12.3. Свойства векторного произведения. Справедливы свойства
а х Ь = -[Ь х о], (6)
а х (ab) = а[а х Ь], (7)
а х (Ь + с) = [а х Ъ] + [а х с], (8)
где а, Ь, с — произвольные векторы, а — скаляр.
Если векторные произведения, входящие в равенства (7), (8), выразить по формуле (1) через компоненты векторов
а = (ах, ау, аг), Ь = (Ьх, Ьу, Ьг), с = (сх,. су, cz).
то легко получить эти равенства.
Формулы (6) и (7) легко следуют также из геометрических соображений. Пусть а и Ь - неколлинеарные векторы. Если в векторном произведении заменить местами а и Ь, то площадь параллелограмма, построенного на а и Ь, и перпендикуляр к а и Ъ не изменятся. Изменится лишь направление с = а х Ъ на противоположное, что влечет изменение ориентации (а, Ъ, ах 6).
Умножение на положительное число а вектора Ъ увеличивает лишь в а раз площадь параллелограмма, построенного на а и Ь, а направление векторного произведения останется прежним. Если же а < 0, то
а х (аЬ) = а х (-|а|Ь) = |а|[а х (-Ь)] =
= -|а][а х Ь] = а[а х Ь].
Заметим еще, что из (6) и (7) следует также, что
(cur) х Ь = -[Ь х (аа)] = -а[Ь х о] = а[а х Ь].
Пример 1. Определить угол А треугольника ABC с вершинами А = (1, 2, 3), Б = (2, 2, 2), С = (1, 2, 4). Обозначим искомый угол через со. Таким образом, со
это угол между векторами AB и АС. Из второго определения векторного произведения имеем
612. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
103
sin со
|АВх АС\ |АВ||АС|
где AB
= (1, 0, -1), АС = (0, 0, 1), |AJ3 I =>/2 , \АС I - 1,
AB х АС =
1 0 -Ii 0 0 1
Отсюда
sin со =
1
Я'
я
»- 4'
Зтг
со =
Так как БС - (-1, 0, 2) и |ВС Р = 5 >\АС |2 + |АВ |2 = = 1 + 2 = 3, то необходимо взять со = Згс/4.
Замечание. Если в треугольнике ABC угол А прямой, то \ВС |2 = БС2 = АС2 + АВ2; если А - тупой угол, то ВС2 > > АС2 + АВ2; если А - острый угол, то ВС2 < АС2 + АВ2.
Пример 2 (из механики). Пусть заданы две точки А и В. К точке Б приложена сила, определенная^ вектором F. Пусть а = АВ . Моментом силы F относительно точки А называется векторное произведение вектора а на вектор F:
