Высшая математика - Бугров Я.С.
ISBN 5-7107-8420-6
Скачать (прямая ссылка):
Ъ = а х F
(см. рис. 32, AD = ВС ).
Рис. 32
104
§13. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
Вектор Ъ (момент силы 1Г) перпендикулярен к векторам аиРи имеет длину, равную площади параллелограмма, построенного на векторах оиГ. Направление же вектора Ь зависит от той прямоугольной системы координат, которая задана в этом вопросе.
На рис. 32 взята левая система координат. Направление Ъ взято так, чтобы векторы а, Г, Ъ тоже образовали левую систему.
§ 13. Смешанное (векторно-скалярное) произведение
Векторно скалярным (смешанным) произведением векторов а, Ъ, с (в трехмерном действительном пространстве) называется скаляр, равный скалярному произведению вектора а х Ъ на вектор с:
(а х Ъ)с = (ауЬг - ар)сх + (ахЬх - ахЬг)су +
+ («Л - аАК -
ах ау аг
Ьх Ьу
(1)
В силу определения скалярного произведения
(а х Ь)с = |а х Ь|прахЬс = (\а\ \b\sin со)првХос.
Поэтому можно еще, очевидно, сказать, что смешанное произведение (о х Ъ)с равно объему параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь, с со знаком + или — в зависимости от того, будет ли система векторов а, Ь, с ориентирована как система координат х, у, г или противоположным образом. Отметим, что [пр^с! равна высоте параллелепипеда.
Имеют место равенства
(а х Ь)с = (с х а)Ь = (Ь х с)а, (2)
которые легко следуют из свойств определителя (1).
§14. ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМАЯ СИСТЕМА ВЕКТОРОВ 105
Если векторы а, Ъ, с лежат в одной плоскости, то (о х &)с = 0,
так как а х Ъ перпендикулярен вектору с. Обратно, если (а х Ь)с = 0, то вектор с перпендикулярен вектору а х Ь и, следовательно, лежит в плоскости векторов а и Ь или в плоскости, параллельной этой плоскости. Таким образом, условие
(а х Ъ)с = 0
есть необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов а, Ь, с.
Пример 1. Найти условие принадлежности четырех точек к одной плоскости.
Пусть даны четыре точки А) — (х{, у^ гу) (у = 1, 2, 3, 4). Если эти точки лежат в одной плоскости, то векторы А1Аг , А\Аз » ^\Аа также лежат в этой плоскости, и, следовательно, их смешанное произведение равно нулю:
хАхА3
Х2 ~Х1 У2 ~ Уі 22 ~ 2\
*з-*і Уз-Уі Ч~г\
Х4~Х1 Уі-Уі 2А~г1
= о.
Это и есть условие принадлежности четырех точек од-нойплоскости (ср. § 9, (12)).
§ 14. Линейно независимая система векторов
Зададим в Нп (действительном или комплексном) систему из к векторов
а" = (ая1, аа, .... а„) (я = 1, к). (1)
По определению система (1) линейно независима, если из векторного равенства
\а> + \аг + ... + \ак = 0, (2)
106 §14. ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМАЯ СИСТЕМА ВЕКТОРОВ_
§14. ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМАЯ СИСТЕМА ВЕКТОРОВ
107
Из сказанного следует, что если система векторов а1, .... а' линейно зависима, то любая пополненная система
а1,
а', а'
обладает тем же свойством. В частности, система векторов, содержащая в себе нулевой вектор, всегда линейно зависима.
Составим матрицу, определяемую векторами системы (1):
А =
«11 «12
д*1 «*2
Чп
Теорема 1. -Если ранг А = к, т. е. рангАравен числу векторов, то система (1) линейно независима.
Если же ранг А<к,то система (1) линейно зависима.
Пример 1. Два вектора а1 — (ап, а12), а2 = (а21, оїї) в действительном пространстве Щ образуют линейно независимую систему, если определитель
д =
«11 «12 «21 «22
* о,
(4)
потому что векторное уравнение
\а* + А^а2 = О
эквивалентно двум уравнениям для соответствующих компонент
«11^-1 + «21^2 = 012^-1 + «22^-2
Но если А * О, то система (5) имеет единственное тривиальное решение
\ =т Ь2 = 0, (6)
¦3
(5)
где А.,, А.2, Хк - числа (соответственно действительные или комплексные), следует, что
А.,, = Х2 = ... = А, = О.
Система векторов (1) называется линейно зависимой, если
существуют числа А.,, А.,.....Хк, одновременно не равные
нулю, для которых выполняется равенство (2). Если для определенности считать, что \ * О, то из (2) следует, что
а* = ща1 + ... + р,_,а*/-', (3)
где
_Ак К-1
* Ч
Таким образом, если система из Л векторов линейно зависима, то один из них есть, как говорят, линейная комбинация остальных, или, как еще говорят, зависит от остальных.
Так как все время будет идти речь о линейной зависимости, то термин линейный будем позволять себе иногда опускать. Будем также говорить зависимые или независимые векторы вместо зависимая или независимая система векторов.
Один вектор а1 тоже образует систему — линейно независимую, если а1 * О, и зависимую, если а1 = О.
Если система векторов о1, а* линейно независима, то любая часть этой системы о1, о* (я < й) тем более линейно независима. Иначе нашлась бы нетривиальная система чисел А.,, А.8, для которой выполнялось бы
А.^1 + ... + А.8а* = О,
А-5 раз
но тогда для системы А.,..... А.,, о.....О , которая тоже
нетривиальна, имело бы место
А^а1 + ... + \а' + О-а»*1 + ... + 0«а* = О.
108
§14. ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМАЯ СИСТЕМА ВЕКТОРОВ
Если же А = 0, то уравнениям (5) удовлетворяет некоторая нетривиальная система (Х1г Х2), т. е. при А = О система векторов а1, а2 линейно зависима.
Очевидно, сказать, что в действительном пространстве Я2 векторы а1 и а2 коллинеарны или линейно зависимы — это все равно. Но тогда сказать, что векторы а1 и а2 не
