Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бугров Я.С. -> "Высшая математика" -> 19

Высшая математика - Бугров Я.С.

Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учебник для вузов. Под редакцией Садовничего В.А. — М.: Дрофа, 2004. — 288 c.
ISBN 5-7107-8420-6
Скачать (прямая ссылка): vishmat2004.djvu
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 37 >> Следующая

Уравнение (12) можно еще написать и в следующем виде:
Ух
х2 У2 22 1
*з Уз гз 1
= 0.
(13)
Если из первой, третьей и четвертой строк определителя в (13) вычесть вторую строку, то он не изменится. Разлагая результат по элементам четвертого столбца, получим уравнение (12).
9.6. Угол между двумя плоскостями. Зададим две плоскости
Ах + Ву + Cz + D = 0, (14)
А'х + В'у + Cz + D' = 0. Мы знаем, что векторы N = (А, В, С) и N' = (А', В', С) перпендикулярны соответственно данным плоскостям, поэтому угол ф между N и N' равен углу (двугранному) между данными плоскостями. Но скалярное произведение NN' = |ЛГ||ЛГ'|со8 ф,
86
§9. УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ
поэтому
NN' АА' + ВВ' + СС
cos ш = -.—п—-г = . , . (15)
\N\\N\ ^2 + ?2 + С2 J{A12 + (в02 + (С,)2
Достаточно считать, что 0 < ф < п.
Отметим, что две пересекающиеся плоскости на самом деле образуют два двугранных угла ф, и ф2. Их сумма равна п (ф, + ф2 = л), а их косинусы равны по абсолютной величине, но отличаются знаками (cos ф, = —cos ф2). Если заменить в первом уравнении (14) числа А, В, С соответственно на числа —А, —В, —С, то полученное уравнение будет определять ту же плоскость, но угол ф в (15) заменится на я — ф.
Две плоскости (14) перпендикулярны тогда и только тогда, когда cos ф = 0, т. е.
ТУЛГ = АА' + ВВ' + СС = 0 (16)
Две плоскости (14) параллельны тогда и только тогда, когда (перпендикулярные к ним) векторы N и ТУ' коллинеарны, т. е. выполняются условия пропорциональности
А'~ В'~ С (17)
Если дополнительно к этому выполняются расширенные условия пропорциональности
А' ~ В' ~ С ~ D" (18)
то это говорит о том, что плоскости (14) совпадают, т. е. оба уравнения (14) определяют одну и ту же плоскость.
Хотя на нуль делить нельзя, но удобно писать символические пропорции (17) или (18) с нулями в знаменателях. Но тогда, если, например, В" = 0, то надо считать, что и В = 0. Или если D' - 0, то D = 0.
§9. УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ
87
Пример 1. Уравнения
2х + 4у + 1 = 0, х + 2у + 5 = 0 определяют пару параллельных плоскостей, а уравнения 2х + 4у + 2 = 0, х + 2у + 1 = 0
- пару совпадающих плоскостей.
9.7. Расстояние от точки до плоскости. Требуется найти расстояние от точки (д:0, у0, г0) = О.0 до плоскости П, определяемой уравнением
Ах + Ву + Сг + Б = 0. Для этого приведем уравнение П к нормальному виду:
(р. v) = р (р> 0). Здесь р = (х, у, г) - радиус-вектор текущей точки О. плоскости П, р — длина перпендикуляра а к П, выпущенного из нулевой точки, и v — единичный вектор, направленный как а. Из рис. 22 видно, что разность р — р° радиус-вектора произвольной точки О, = (х, у, г) плоскости П и
Рис. 22
88
§9. УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ
радиус-вектора точки О.0 = (х0, у0, га) есть такой вектор, что абсолютная величина его проекции на V равна искомому расстоянию й от О.0 = (х0, у0, гЛ до П:
й = |(р - р°, у)|,
но
(р - р°, V) = (р, V) - (р°, V) = р - (р°, V).
Следовательно,
й = |(р°, V) - р\.
Мы видим, что, для того чтобы вычислить расстояние й от точки О.0 до плоскости П, надо записать уравнение плоскости П в нормальном виде, перенести р в левую часть и подставить в последнюю (х0, у0, гЛ вместо (х, у, г).
Абсолютная величина полученного выражения и есть искомое число (1.
На языке параметров плоскости, очевидно,
й = \Ах0 + Ву0 + Сг0 + П\/л]а2 + В2 +С2 . Легко видеть, что если точка С}0 и начало координат находятся по разные стороны от плоскости П (как на рис. 22), то вектор р — р° образует с v тупой угол, и поэтому
б. = -(р - р°, V) = (р°, V) - р > О.
Если же точка (2° и начало координат находятся по одну сторону от П, то указанный угол острый, и тогда
(1 - (р - р°, V) = р - (р°, V) > О.
Следовательно, в первом случае (р°, v) > р, а во втором (р°, v) < р.
Пример 2. Расстояние й от точки (1, 1, 1) до плоскости П х + 2у + г = 3
равно
х + 2у + г-3 1
§10. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
89
В данном случае точка (1, 1, 1) и начало координат находятся по разные стороны от плоскости П, так как М > О и
[х + 2у + г - 3],., ^ _!=*!> О.
ЗАДАЧИ
1. Привести уравнения плоскостей
х - у + г = 2, 2х - у + л[20г = 10 к нормальному виду.
2. Найти угол между плоскостями
х+у+г=1и (/ = 0;
х-у+г = 2и х + у + г = 3.
3. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки (0, 0, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0).
4. Написать уравнение шаровой поверхности с центром в начале координат, касающейся плоскости 2х - 6у + 7г = 2.
§ 10. Прямая в пространстве
10.1. Уравнение прямой в каноническом виде. Рассмотрим в пространстве произвольную прямую Ь. Отметим на ней точку (х0, у0, г0), определяющую радиус, вектор р° = (х0, у0, гЛ и лежащий на ней вектор а = (а,, аг, а3) ф 0, приложенный к точке 0° = (х0, у0, г0) (рис. 23). Произвольную текущую точку прямой Ь обозначим через С} = (х, у, г) и ее радиус-вектор через р = (х, у, г). Вектор р — р° можно записать в виде р — р° = *а, где t — некоторое число (скаляр). Если действительная переменная ? пробегает интервал (—со, <*>), то конец вектора р = р° + Ьа пробегает всю прямую Ь. Поэтому говорят, что равенство
р - р° = *а (-оо < г < °°) (1)
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 37 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed