Высшая математика - Бугров Я.С.
ISBN 5-7107-8420-6
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 17
§8. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
77
Пусть р есть длина а (р = |а|), V = (cos а, cos Р) есть единичный вектор, направленный в ту же сторону, что и а. Здесь а, Р — углы между а (или v) и соответственно положительным направлением оси х и оси у; cos 2сс + cos 2Р = 1 (cos Р = sin а). Обозначим через р = (х, у) радиус-вектор произвольной (текущей) точки прямой L. Проекция вектора р на единичный вектор v, очевидно, равна р, т. е. скалярное произведение радиус-вектора произвольной точки р прямой L на вектор v равно р:
(р, v) = Mnpvp = р- (21)
Итак, мы получили векторное уравнение L, потому что, и обратно, если радиус-вектор точки удовлетворяет уравнению (21), то точка лежит на L (точка, не лежащая на L, имеет проекцию на v, отличную от р).
Если прямая L проходит через начало координат, то ее уравнение можно записать тоже в виде (21), где v — единичный перпендикулярный к ней вектор ир = 0.
В координатной форме уравнение (21) имеет вид
arcos а + ycos р = р {р S 0) (21')
или
accos а + i/sin а = р (р S 0). (21")
Уравнение (21') (или (21")) называется уравнением прямой в нормальном виде.
Если прямая L задана общим уравнением
Ах + By + С = 0,
то его можно привести к нормальному виду, умножив на число
М = ±1/л/А2+В2 , (22)
где надо выбрать знак, противоположный знаку С (р = = —МС 2: 0). Число М называется нормирующим множителем. Так как
78
§8. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
(МА)2 + (МВУ = 1,
то существует и притом единственный угол а, удовлетворяющий неравенствам О < а < 2л, для которого
МА = сова, МБ - біпа. (23)
В результате мы получаем уравнение (21), где р = -МС > > 0. Отметим еще раз, что число р равно расстоянию от начала координат до прямой.
Задача 4. Найти расстояние й от точки до прямой Ь, определяемой уравнением
Ах + Бу + С = 0. (24)
Решение. Пусть
(Р, v) - р = 0 (25)
есть нормальное уравнение прямой (24). Таким образом, если С Ф 0, то р (р > 0) есть длина вектора ОР, опущенного из начала координат О на! (перпендикулярно к Ь),
а v — единичный вектор, направленный как ОР (р = | ОР |,
—>
v = ОР /р (рис. 18)). Пусть р = (х, у) есть радиус-вектор произвольной точки Ь. Тогда, очевидно, чтобы найти расстояние от точки 0°, имеющей радиус-вектор р° = (дс°, у0) до Ь, надо спроектировать вектор р — р° на направление вектора v и взять абсолютную величину проекции:
<* = |пр,(р - р°)| = |(р - р°, у)| =
= 1(Р, v) - (р°, v)! = 1р - (р°, v)! - |(р°, v) - р\.
Мы получили формулу
= 1(Р°, v) - р\. (26)
Таким образом, чтобы получить расстояние а", надо привести уравнение (24) к нормальному виду, перенести р
§8. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
79
Рис. 18 Рис- 19
в левую часть, подставить в левую часть вместо х, у соответствующие координаты х°, у° точки О.0 и взять абсолютную величину полученного выражения.
На языке коэффициентов А, В, С равенство (26) выглядит так:
д. = \Ах° + Ву° + С\/т1а2+В2 . (26')
При С = 0 формула (26), а следовательно и (26'), остается тоже верной. В этом случае р = 0, v — один из двух единичных векторов, перпендикулярных к Ь (рис. 19). Теперь
* = К(Р - р°)| = |(р - р°, у)| = |(р, v) - (р0, v)! = |(р°, v)!
или
й = \Ах° + ВуЧ/^А2+Б2 , т. е. формула (26') верна при С = 0.
Замечание 3. Из рис. 18 видно, что: а) если начало О и точка (}0 находятся по одну сторону от Ь, то угол между v и р — р° острый и а" — р - (р°, v); б) если же О и 0° находятся по разные стороны от Ь, то угол между р — р° и v тупой и (1 = (р°, v) - р.
80
§9. УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ
Задача 5. Найти расстояние от точки (1, 1) до прямой 2* + л/б у - л/б = 0.
§ 9. Уравнение плоскости
9.1. Уравнение плоскости в нормальном виде. В пространстве R3, где введена прямоугольная система координат х, у, г, зададим вектор а, выпущенный из начала О. Через конец а проведем плоскость П перпендикулярно к а (рис. 20). Произвольную (текущую) точку плоскости П обозначим через Q = (х, у, г). Буква р обозначает радиус-вектор точки Q.
Пусть р = \а\ — длина вектора а и
v = (cos a, cos Р, cos у)
- единичный вектор, направленный в ту же сторону, что
и а. Здесь а, Р, у - углы, образуемые вектором v соответственно с положительными направлениями осей х, у, г. Проекция любой точки Q е П на вектор v есть, очевидно, величина постоянная, равная р:
(Р, v) = р (р > 0). (1)
Уравнение (1) имеет смысл и при р = 0. В этом случае плоскость П проходит через начало координат О (а = 0) и v - единичный вектор, выпущенный из О перпендикулярно к П, неважно в каком направлении, т. е. вектор v определяется с точностью до знака. Уравнение (1) есть уравнение плоскости П в век торной форме. В координатах оно записывается так:
Рис. 20
§э: УРАВНЕНИЕ плоскости
81
хсоб а + усов Р + гсоБ у = р (р > 0) (1')
и называется уравнением плоскости в нормальном виде.
9.2. Уравнение плоскости в общем виде. Если уравнение (1') умножить на какое-либо не равное нулю число, То получим эквивалентное ему уравнение в виде
Ах + Ву + Сг + ?> = 0, (2)
определяющее ту же плоскость. Здесь числа А, В, С не равны нулю одновременно. Уравнение (2), где числа А, В, С не все равны нулю, называется уравнением плоскости в общем виде.
