Высшая математика - Бугров Я.С.
ISBN 5-7107-8420-6
Скачать (прямая ссылка):
жена такая прямая при а > 0.
Из сказанного следует, что уравнение (2), где А, В, С — заданные числа и при этом А и В одновременно не равны нулю, есть уравнение некоторой прямой. При В Ф 0 эта
72
§8. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
прямая не параллельна оси у. В частности, при А = О она параллельна оси х (у = -С/В). В случае же, если В = О, то она параллельна оси у. Отметим, что ось х имеет, очевидно, уравнение у — О, а ось у имеет уравнение д: = 0.
Уравнение (2) называется уравнением прямой в общем виде. Любая прямая, как угодно расположенная по отношению к системе координат, может быть описана уравнением вида (2) при подходящих постоянных числах А, В, С. Подчеркнем, что числа А и В в уравнении (2) прямой одновременно не равны нулю. Отметим, что число А в уравнении (1) называют угловым коэффициентом прямой.
Решим несколько важных задач.
Задача 1. Написать уравнение прямой с угловым коэффициентом, равным числу А, проходящей через заданную точку (*0, у0).
Решение. Прямая с угловым коэффициентом А имеет вид
у = Ах + I, (3)
где I может быть любым числом. Так как точка (д:0, у0) должна находиться на данной прямой, то должно выполняться равенство
у0 = кх0 + I. (4)
Вычитая (4) из (3), получим искомое уравнение
У ~ У0 = Нх ~ х0) (5)
прямой, проходящей через точку (х0, у0) с угловым коэффициентом А.
Задача 2. Написать уравнение прямой, проходящей через заданные две точки уг) и (хг, у2). Предполагается, что эти точки разные.
Решение. Пусть хх * хг Тогда, очевидно, искомая прямая не параллельна оси у и потому может быть записана в виде
§8. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
73
у - У1 = Ч* - *1>. (6)
где А — некоторое число. Уравнение (6) уже выражает, что прямая проходит через точку ух). Чтобы она проходила также через точку (х2, у2), надо чтобы выполнялось равенство
Уг ~ Уу = к(хг ~ х1>- (7>
Деля (6) на (7) (т. е. деля левую часть (6) на левую часть (7), а правую часть (6) на правую часть (7)), получим
У-Уг =
У2-У1 х2-х1-Это и есть уравнение прямой, проходящей через точки (*!• У1) и (х2, у2).
Замечание 1. Могло случиться, что у2 — ух = 0, тогда формально мы получили бы равенство
У-У1 _
0 х2 - *1 '
Несмотря на бессмысленность этого равенства, так пишут - считают удобным. Если освободиться от знаменателей, то получим верное равенство
х — X,
у- У,- 0--1Г = 0
х2 ~ х1
или
У = У,- (9)
Случай хх = х2 = с приводит к решению х = с.
Задача 3. Найти угол со между прямыми
у = кхх + 1Х, у = к2х = 12. Решение. Имеем А1 = tgcx1, А2 = tgc^2, где ар а2 -соответственно углы, образованные данными прямыми с
74
§8. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
Рис. 14
положительным направлением оси х. Имеем (рис. 14)
tga1 --tga.2 К~К
1е<о = \&а.х - а2) - г—г-—Г = л .? , (Ю)
1 2 1 + tgaltgaz 1 + к1к2
и мы получили формулу угла между прямыми. Случай 1 + й.й, = 0 или
К-к2 = -1 (11)
выражает условие перпендикулярности прямых. Условие параллельности прямых = 0), запишется так
*! = К- (12)
Зададим уравнение прямой в общем виде:
Ах + Ву + С = 0. (2)
При А * 0, В Ф 0, С Ф 0 уравнение (2) можно записать в форме
х У f -С , -С)
—+ —= 1 а =-, Ъ = —-
а Ъ \ А В )'
(13)
Уравнение (13) называется уравнением прямой в отрезках. Эта прямая пересекает ось х (прямую у = 0) в точке (о, 0) и ось у в точке (0, Ь).
§8. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
75
Если прямая, удовлетворяющая уравнению (2), проходит через точку (х°, у0), то
Ах° + Ву° + С = 0. (14)
Вычитая (14) из (2), получим
А(х - х°) + В(у - у0) = 0. (15)
Уравнение (15) называется уравнением прямой, проходящей через точку (х°, у0).
Если ввести в рассмотрение векторы N = (А, В), р = = (х, у), р° = (х°, у0), то левую часть(15) можно рассматривать как скалярное произведение вектора N на вектор р — р°. Поэтому уравнение (15) в векторной форме имеет вид
Щр - р°) = 0. (15')
Вектор р — р° принадлежит прямой Ь (рис. 15). Таким образом, из (15') видно, что вектор N = (А, В) ортогонален
Рис. 15 Рис. 16
(перпендикулярен) данной прямой, и тем самым мы выяснили геометрический смысл коэффициентов А и В. Рассмотрим две прямые
Ахх + Вуу + С, = 0 (?,,), (16)
Агх + В2у + С2 = 0 (Ьг). (17)
76
§8. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
Так как векторы TV, = (А,, В,) и TV2 = (Aj, В2) перпендикулярны к прямым (16) и (17) соответственно, то угол ф между прямыми (16) и (17) равен углу между векторами ТУ, и ТУ2 (рис. 16). Угол ф можно вычислить по формуле
(NltN2) iMa+BA
cos ф = -.—~.—~ = . - . —. (18)
Замечание 2. Если ф - угол между прямыми, то л - ф также является углом между этими прямыми. Число (18) может быть положительным и отрицательным. Одно из них соответствует углу ф, а другое - углу К - ф.
Из (18) получаем условие перпендикулярности I,, и Ь2
(Ф = — , cos ф = О):
AjAjj + В,В2 = 0.
(19)
Если прямые I,, и Ь2 параллельны, то векторы ТУ, и ТУ2 коллинеарны и ТУ, = Ш2, где X - некоторое действительное число. Отсюда условие параллельности прямых выражается равенством
(20)
А2 В2 •
Пусть дана произвольная прямая Ь в прямоугольной системе координат (рис. 17), не проходящая через начало координат, и пусть а — вектор, выходящий из начала координат и перпендикулярный к прямой I/ с концом, лежащим на прямой. Вектор а полностью определяет прямую Ь (через конец вектора а проходит единственная прямая, перпендикулярная к нему).
