Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бугров Я.С. -> "Высшая математика" -> 24

Высшая математика - Бугров Я.С.

Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учебник для вузов. Под редакцией Садовничего В.А. — М.: Дрофа, 2004. — 288 c.
ISBN 5-7107-8420-6
Скачать (прямая ссылка): vishmat2004.djvu
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 37 >> Следующая

коллинеарны или линейно независимы — это тоже все равно.
Пример 2. Система векторов о1, а2, а* (А > 3) в действительном пространстве Я2 всегда линей-
Рис 33 НО зависима- Геометрически это
ясно из рис. 33: если с — произвольный вектор и а, Ь — неколлинеарные векторы, то всегда можно указать такие числа X, ц, что
с = Ха + цЬ.
Это показывает, что система а, Ь, с линейно зависима. Если же а и Ь — коллинеарные векторы, то они линейно зависимы. Тем более линейно зависимы а, Ъ, с.
По теореме 1, чтобы исследовать пару векторов а1, а2, мы должны записать матрицу из их координат
1 °11 «12 II || а21 а22 ||
В данном случае к — 2.
а) Если ранг А = 1 < 2 = Л, то теорема утверждает, что векторы а1, а2 линейно зависимы.
б) Если же ранг А = 2 = Л, то векторы а1, а2 линейно независимы.
Это совпадает с приведенными выводами, потому что в случае а) А = О и б) А ф 0.
Тот факт, что три произвольных вектора а1, а2, а3 в Щ линейно зависимы, тоже предусмотрен теоремой - ведь
ранг А < 2 < 3 = А.
§14. ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМАЯ СИСТЕМА ВЕКТОРОВ 109
Пример 3. В трехмерном действительном пространстве Л3 два вектора
а1 = (ап, а12, а13), а2 = (с21, с22, с23)
линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.
В самом деле, пусть о1, а2 коллинеарны. Если один из данных векторов нулевой, то они линейно зависимы. Если же а1 и а2 коллинеарны и не нулевые, то
а1 = Ха2,
где X - некоторое число. Последнее означает, что о1, а2 линейно зависимы.
Обратно, если а1, а2 линейно зависимы, то один из них зависит от другого, например
а2 = ца\
т. е. векторы коллинеарны.
Если в этом случае рассмотреть матрицу
«11 °12 °13 1 а21 а22 °23 || *
то элементы строк матрицы пропорциональны, и поэтому
ранг А = 1 < 2 = Л, т. е. наше утверждение согласуется с теоремой 1. Пример 4. Рассмотрим теперь три вектора в Д3: а1 = (ап, а12, а13), а2 = (а21, аи, ам), а3 = (а31, а32, а33).
Пусть
А =
а11 °12 °13 а21 °22 °23 °31
110
§14. ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМАЯ СИСТЕМА ВЕКТОРОВ
Векторному уравнению
^а1 + Х2а2 + Х3а3 = 0 эквивалентна система из трех уравнений
+ 0-21^2 + аз Аз = °»
а12Х1 + «22^-2 + °31^3 = 9' °13^1 + °23^2 + а33^3 = 0-
(7)
(7')
Если А ф 0, то система (7') имеет единственное тривиальное решение X, = Х2 = X3 = 0. Но тогда и уравнение (7) имеет единственное тривиальное решение и система векторов а1, а2, а3 линейно независима.
Если А = 0, то система (7'), следовательно, и уравнение (7) имеют нетривиальное решение (Я,,, Х2, Х3). Но тогда система векторов (а1, а2, а3) линейно зависима. Но здесь можно различать детали:
1) Пусть ранг А — 1, где
«її #12 аіз
а.
21
а,
22
*23
°31 °32 °33
Тогда по крайней мере одна из строк А, пусть для определенности первая, имеет хотя бы один элемент, не равный нулю. Рассмотрим матрицу
А'
а11 а12 а13
а21 а22 °23
(8)
Она имеет ранг 1, поэтому все порождаемые ею определители второго порядка равны нулю
«11 «12 «11 «13 «12 °13
°21 °22 °21 а23 °22 °23
§14. ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМАЯ СИСТЕМА ВЕКТОРОВ
111
Но тогда, очевидно, компоненты векторов а1 и а2 пропорциональны
°21 _ а22 _ а23 _ ^ «11 «12 «13
Т. е.
а21 = апХ, = а12Х, а23 = а13к
или
а2 = Ха1.
Аналогично, учитывая, что в матрице
а11 °12 а13 || а31 а32 а33 ||
тоже все определители второго порядка равны нулю, получим, что
а3 = ра1,
где р - некоторое число. Таким образом, в этом случае векторы а1, а2, а3 коллинеарны.
2) Пусть теперь ранг А = 2. Тогда одна из матриц, состоящих из двух строк матрицы А, имеет ранг 2. Пусть для определенности это есть матрица А' (см. (8)). На основании примера 3 векторы а1 и а2 линейно независимы. Но система а1, а2, а3 зависима, т. е. для некоторой нетривиальной тройки чисел (л-,, Л.2, Я.3)
Здесь Х3 ф 0, потому что иначе А^а1 + Х2а2 = 0, и в силу независимости системы а1, а2 было бы ^ = Х2 = 0. Но тогда равенство (9) можно разрешить относительно а3:
112
§14. ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМАЯ СИСТЕМА ВЕКТОРОВ
Таким образом, если А = 0, а ранг А' = 2 (см. (8)), то векторы а1 и а2 неколлинеарны, а вектор а3 принадлежит к плоскости этих векторов.
Приведенные рассуждения не противоречат теореме 1. В самом деле, если А * О, то ранг А = 3 = к и по теореме 1 система векторов о1, а2, а3 линейно независима. Если же А = О, то ранг А < 3 и система векторов а1, а2, а3 линейно зависима.
Доказательство теоремы 1. Векторное равенство (2) эквивалентно следующим п уравнениям для компонент векторов:
^•Лі + ^2°2і + • • • + Хкак1 = О, Я.1а12 + А2а22 + ... + "ккак2 - О,
+ ^2а2П + • • - + Хкакп = О.
(2')
Пусть ранг А = к. Тогда, очевидно, к < п. Существует не равный нулю определитель к-то порядка, порождаемый матрицей А. Не ограничивая общности, можно считать, что это определитель из коэффициентов первых А уравнений системы (2'):
*-і«іі + - •• +Какі = °» ^іаіп + ¦¦¦ +Хкакк = О,
(10)
«її •¦¦ «и
«1* •¦¦ акк
ф 0.
Так как однородная система (10) имеет определитель, отличный от нуля, то она имеет только тривиальное решение:
§14. ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМАЯ СИСТЕМА ВЕКТОРОВ 113
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 37 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed