Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
В случаях 1,2 ранг скобки Пуассона может быть понижен на две единицы (см. § 5), и система (4.3) может быть сведена к системе с двумя степенями свободы, для интегрируемости которой не хватает еще одного дополнительного первого интеграла.
5. Обобщение случая Делоне. Кроме понижения порядка по циклическим переменным для обобщенного волчка Ковалевской (4.9) возможен один случай сведения к двум степеням свободы с использованием редукции Дирака. Для этого рассмотрим интеграл Ковалевской (4.11) при условии F2 = 0, определяющим обобщенный случай Делоне [5]. Легко видеть, что система корректно ограничивается по Дираку на инвариантные соотношения
которые являются центральными функциями структуры Дирака (§ 9 гл. 1). На четырехмерном симплектическом листе имеется также два интеграла (4.9), (4.10), позволяющие полностью проинтегрировать систему.
-- + gaaі - haa2 + g??і - h,??2 = 0,
M1M2 + gaa2 + Ka1 + g??2 + h??1 = 0,
(4.12) 118
Глава 2
Интересные коммутационные соотношения порождаются функциями Zi, Z2. Несложно проверить, что
Uu Z2) = — Мз(М2 + M22) + 2а3[Miga + M2Zie] + 2?3[Migp + M2hfl],
(4.13)
а также, что функция J является первым интегралом системы при выполнении условий (4.12).
Действительно,
{J,H} = 2zi(-gaa2 - haa>i - g??2 - hp?i) -- 2z2(-gn(\.i + h„a2 - g??i + hp?2).
Поэтому интегрируемость обобщенного волчка Ковалевской в (обобщенном) смысле Делоне может быть условлена и без использования интеграла (4.10). Оказывается также, что полный набор интегралов, включающий (4.13) и (4.10) уже оказывается зависимым. Интересно заметить также, что в случае одного силового поля (ga = gp = hp = 0) кубичный по моментам интеграл (4.13) имеет структуру, почти аналогичную частному интегралу Горячева Чаплыгина для уравнений Эйлера—Пуассона (см. §6). Несомненно, что между интегрируемыми случаями Ковалевской и Горячева—Чаплыгина существуют глубокие взаимосвязи па уровне пуассоновых структур, проясняющие скрытые симметрии этих систем. Однако они практически совсем не исследованы.
6. Известные случаи интегрируемости. В заключение систематически приведем все случаи интегрируемости, известные в задаче о движении твердого тела вокруг неподвижной точки в суперпозиции однородных ортогональных силовых полей.
1. Случай Эйлера—Пуансо — при этом Cj7- = 0, bi = 0, У г, j = 1,2,3, а интегрируемость является некоммутативной — интегралы площадей Ni образуют алгебру so(3): {Ni,Nj} = EijkNjt.
2. Обобщенный случай Лагранжа — при этом тело является динамически симметричным, а все три силовых центра лежат на оси динамической симметрии. Как показано в § 3, этот случай сводится к обычному тяжелому волчку Лагранжа.
3. Обобщенный случай Ковалевской — эллипсоид инерции является эллипсоидом вращения, между моментами инерции выполняется соотношение a,i = а2 = 1/2яз (a,; = Z,"1), а три силовых центра произвольно располагаются в экваториальной плоскости эллипсоида инерции. § 4. Метод Ковалевской—Ляпунова и интегрируемые случаи 119
4. Обобщенный шаровой волчок — он реализуется при «і = а2 = «з и при произвольном потенциале (4.1). Как показано в гл. З в этом случае уравнения волчка сводятся к уравнениям движения материальной точки по трехмерной сфере в поле сил с квадратичным потенциалом. Для двумерной сферы интегрируемость этой задачи была показа-па еще К. Нейманом. В работе [294] Ю.Мозер доказал интегрируемость д-мерной системы Неймана (на Sn). Заметим, что в нашем случае движение будет происходить по трехмерным торам, вложенным в шестимерное фазовое пространство. Трехмерные торы возникают также существенным образом (то есть порядок системы не может быть понижен глобально и слоение пе может быть сведено к слоению па двумерные торы) в обобщенном случае Ковалевской. Эти случаи наиболее сложны для топологического и качественного анализа и практически пе изучены.
Еще одно интересное замечание состоит в том, что условия существования квадратичных по М, N интегралов системы (4.3) совпадают с условиями ее полной интегрируемости по Лиувиллю. Таким образом, нелинейный по импульсам интеграл системы (4.3) отдельно существовать не может он сразу влечет за собой полную интегрируемость системы (4.3). Отметим также, что нам неизвестен пример из гамиль-тоновой механики, в котором система с более чем двумя степенями свободы обладает нелинейным по импульсам дополнительным первым интегралом, но не является интегрируемой.
7. Неинтегрируемость и теоремы несуществования. Вероятно, что для уравнения (4.3) других общих случаев интегрируемости пе существует. Единственно возможным частным случаем интегрируемости, видимо, является случай Горячева—Чаплыгина, существующий при наличии одного силового поля (уравнения Эйлера—Пуассона) и пулевой постоянной площадей. Однако строгое доказательство неинтегрируемости пока отсутствует (кроме классических уравнений Эйлера Пуассона, являющихся частным случаем (4.3)). Отметим, что многие классические и современные методы доказательства неинтегрируемости (метод Пуанкаре, расщепление сепаратрис [64, 91], метод Гюссопа [5], метод Зиглина [65]) при их применении к рассматриваемой задаче требуют некоторой модификации (иногда и весьма существенной).
