Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
K= 0 Bs.
s3(s,Bs)
где В = A"1.
Используя уравнения К = 0, S2 = 1, определим направления относительных равновесий
fi2B8XS +SXM+ fesxs =
я§ (s,Bs)2 ds S3 (s, Bs) ' (5.20)
S2 =1.
Система (5.20) отличается от классической (конус Штауде) наличием дополнительного слагаемого. Для движений твердого тела соответствующих положениям относительного равновесия (5.20) 73 = = const, следовательно, ось симметрии волчка (апекс) прецессирует вокруг оси перпендикулярной двум полям. При этом экваториальная плоскость вращается таким образом, что сохраняется величина oti + /?, либо — /?- Исследование уравнений (5.20), например, нахождение условий устойчивости относительных равновесий, представляет собой интересную механическую задачу.
5. Система Леггетта. Приведем пример еще одной динамической системы, которая может быть представлена на нелинейной алгебре (5.7) или (5.10).
Рассмотрим гамильтониан общего вида для системы па алгебре 1(7) (2.7)
H = I (M12 + M22 + аМ32) +ЪМз + U (A0). (5.21) 130
Глава 2
При а = 1 и U = С ^4Aq — получается система Леггетта, описывающая поведение спина атома жидкого He3 в /3-фазе при наличии магнитного поля, обсуждавшаяся в [60, 129].
Система (5.21) имеет интеграл F2 = (М, 7) — M3, и следовательно, может быть представлена на алгебре (5.7) или (5.10). (Уравнения динамики спина He3 в а-фазе сводятся к обычным уравнениям Кирхгофа на алгебре е(3) [129].)
Как было указано выше, с помощью преобразования (5.14) система (5.21) может быть также сведена к гамильтоновой системе на нулевой орбите (<т,7) = 0 алгебры е(3). При этом, однако, в гамильтониане возникает особенность в точке экватора 73 = 0. В качестве канонических координат для приведенной системы могут быть выбраны переменные Апдуайс—Депри для уравнений Эйлера—Пуассона (§8).
Редукция в других переменных выполнена в [239]. В связи с неудачным выбором образующих, новая скобка получилась неоднородной и кубичной. Функция Лагранжа, указанная в [239], может быть получена редукцией Рауса по циклической переменной ф при параметризации сферы S3 стандартными сферическими координатами:
Ao = cos 9, Ai = sin 9 cos Lp,
X2 = sin 0sin Lp соБф, A3 = sin в sin (p sin ф.
Как показывает численный анализ методом отображения Пуанкаре, система (5.21) хаотична и не допускает дополнительных интегралов движения.
§ 6. Изоморфизмы интегрируемых случаев
Изоморфизмы вполне интегрируемых систем в динамике хорошо известны. Многие из них были обнаружены еще классиками (В.А.Стеклов [320], Г. Минковский [291]). Другие неожиданные изоморфизмы найдены недавно. Например, в [247] указано дробно-рациональное преобразование, связывающее уравнения задачи Ковалевской и задачи Клебша, а в [194] найден аналогичный изоморфизм волчка Горячева—Чаплыгина и трехчастичной цепочки Тоды. Результаты последних работ основаны на глубоких свойствах алгебраически вполне интегрируемых гамильтоновых систем. Еще одна аналогия, относящаяся к задаче трех вихрей и системе Лотки—Вольтерра, указана в работе [34] и в гл. 4. jj 6. Изоморфизмы интегрируемых случаев
131
В этом параграфе для нахождения аналогии между различными интегрируемыми задачами используется гамильтонова форма уравнений движения со скобкой Пуассона, определяемой некоторой алгеброй Ли (скобка Ли—Пуассона) или нелинейным структурным тензором.
1. Изоморфизм между обобщенным случаем Ковалевской и случаем Чаплыгина для уравнений Кирхгофа. Как было показано в предыдущем параграфе, (при совпадении двух главных моментов инерции) общие кватернионные уравнения (2.9) с потенциалом (4.1) допускают циклический интеграл (5.4) и могут быть редуцированы к гамильтоновой системе на нелиненой алгебре (5.10) с функцией Гамильтона
H =\ (K21 + K22 + аК\) + \ (Cle? + C2S22)) .
При этом уравнения движения имеют вид (5.11) и во многом аналогичны уравнениям Кирхгофа, описывающим движение твердого тела в безграничном объеме идеальной несжимаемой жидкости.
При условиях типа Ковалевской (см. §4): а = 2, и силовые центры всего двух взаимно перпендикулярных силовых полей лежат на равных расстояниях до точки закрепления (U = с («і + ?2)) — дополнительный интеграл был найден в работе [171]. В этом случае гамильтониан можно записать в форме
H=l(Kf+Kl+2Kl) + l (si-S21), (6.1)
а дополнительный интеграл дастся выражением
К = (Kl - Kl - CS23)2 + 4K21Kl (6-2)
В [171] указана также возможность добавления в систему гиростата, ось которого совпадает с осью симметрии тела.
При F2 = 0 интегрируемый случай (6.1),(6.2) переходит в интегрируемый случай Чаплыгина для уравнений Кирхгофа [163]. Интересно также заметить, что если добавить к уравнениям Кирхгофа на е(3) дополнительный член (см. (5.11)), то частный случай интегрируемости Чаплыгина становится общим случаем интегрируемости, но не на алгебре е(3), а на нелинейной алгебре определяемой скобкой (5.10). Замечание 1. Указанная аналогия сохранится при добавлении в (6Л) гиро-статического параметра [171]. 132
Глава 2
Замечание 2. Можно показать, что аналогично частному случаю интегрируемости Чаплыгина можно «поднять» на ненулевую константу площадей и частный случай Горячева—Чаплыгина для уравнений Эйлера—Пуассона, если вместо алгебры е(3) рассматривать алгебру (5.10). Действительно, для уравнений (5.11) и гамильтониана
