Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
Пользуясь коммутационными соотношениями алгебры е(4) запишем уравнения движения обеих систем
H = 2М2 + U{q).
(6.12)
(6.13)
H=1TTTT H'=F(n,L)-G(q). 136
Глава 2
• _ Л діЛ . _ dF x _ , _ OF
Произведя замену времени dr = ^dt и учитывая, что на выбранном
Cr
уровне H = 1 справедливо уравнение F = G, из первой системы получим вторую. ¦
Распространим аналогию, замеченную в [78, 291] для двумерного эллипсоида и случая Клебша уравнений Кирхгофа па е(3) па случай трехмерного эллипсоида. В работе Переломова [135] приведено обобщение случая Клебша для произвольной алгебры е(п). Для гамильтониана
1,3 3
где Mij генераторы so(n), a p.j генераторы К™ в стандартном представлении, аналог условий Клебша имеет вид (при j ф к, к ф т, ф j)
aJk - с*) + акт (? - Сш) + aTOJ- (сга - Cj) = 0. (6.14)
Несложно проверить, что гамильтониан (6.13) удовлетворяет условиям Клебша (6.14). Таким образом, геодезический поток на трехмерном эллипсоиде на каждом уровне энергии является траєкторно эквивалентным гамильтоновой системе (6.13) на нулевом уровне энергии.
Замечание 6. В [21] указано, что если геодезический поток имеет частный интеграл /(х, р) при одном из значений энергии, то он имеет и полный интеграл, который равен
F(x,p) = / (х,-^
V IPI
где |р| = -JgijPiPj и гамильтониан H — g'3{^)pipj.
Замечание 7. Задача Неймана на S3, которая описывается гамильтонианом (6.11) с произвольным квадратичным потенциалом U — ^Ciqf. задает jj 6. Изоморфизмы интегрируемых случаев
137
поток, трапсвсрсальный потоку случая Клебша (при Uij ф а,ы). Траєкторную эквивалентность этих потоков можно установить, используя теорему Кноррера об изоморфизме задачи Неймана и Якоби [266] и ее обобщения, полученного А. П. Веселовым [332]. Изоморфизм задается гауссовой проекцией эллипсоида, при которой геодезические переходят в траектории задачи Неймана (см. также [23]).
Замечание 8. Записав гамильтониан задачи Якоби для двумерного эллипсоида в переменных алгебры е(3) М,7, получим интегрируемую систему на алгебре е(3) при произвольных значениях постояной площадей (М, 7) = с (поднятие задачи Якоби с сингулярной орбиты на всю е(3)).
Замечание 9. Аналогичные результаты о траекторном изоморфизме справедливы для n-мерной задачи Якоби и многомерной системы Клебша— Переломова [135] (уравнения Кирхгофа на е(п)). То, что на е(п) существуют сингулярные орбиты коприсосдинепного представления, гомеоморфпые T*Sn-\ является хорошо известным фактом (см. приложение 4).
3. Аналогия между волчком Лагранжа и системой Леггетта. Рассмотрим систему Леггетта (5.21) без магнитного поля [239, 283, 129]; в этом случае гамильтониан в кватернионных переменных М, Л, Ao можно записать в виде:
H =^M2 + U(X0). (6.15)
Сравнивая с (6.12), нетрудно заметить, что задача Леггетта эквивалентна задаче о движении материальной точки по S3. В силу того, что потенциал U зависит лишь от Ao, можно считать, что материальная точка движется в поле неподвижного центра, помещенного в северный (южный) полюс, а сила взаимодействия зависит лишь от расстояния до него (аналог задачи о движении в центральном поле для E3). Как и в плоском случае сохраняется вектор кинетического момента частицы:
L = і (N - М) = const, (6.16)
где N = AMA"1.
Однако интегралы (6.16) не ииволютивпы, из них можно составить только два интеграла, находящихся в инволюции, например: L3, L2.
Так как интеграл L3 = (М,7) — M3 совпадает с (5.4), выполнив с помощью него редукцию, мы можем записать систему (6.15) на алгебре (5.10), понизив при этом ранг скобки Пуассона. Поскольку интеграл L2 находится в инволюции с L3, его также можно записать в 138 Глава 2
переменных алгебры (5.10):
L2 =2 (K21 (I-S21+S22 + S23) +
+K22 (1 - 8\ + 4 - 4) + Kl (1 + S21 + S22 - S23)). ( ¦ 1
Выбрав интегралы потока, порожденного (6.17), снова можем понизить ранг скобки (5.10) еще на две единицы. (В силу того, что интеграл (6.17) нелинеен по импульсам, уравнения, связанные с конфигурационными переменными, не отделяются.)
Эту же процедуру можно провести непосредственно (см. §8 гл. 1), если выбрать совместные интегралы потоков, порожденных гамильтонианами (6.16). Поскольку из трех функций (6.16) можно составить лишь две инволютивные, ранг скобки (2.7) упадет на четыре единицы (вместо шести). Можно проверить, что с Li коммутируют величины
Pt = у (М X X)2/VY2, P2 = (М, X)/VY2, CT1 = VA2, V2 = A0, X2 = X21 + X22 + X23.
Они образуют нелинейную алгебру:
{Р2, Pi} = Pi 0-2/20-1, {^2,01) = -02/2, {^2,0-2) = 0-1/2, {/>1,0-1} = {pi,a2} = 0
(6.18)
с функциями Казимира F1 = + а2 = 1, F2 = P1Cr1 = const.
Ранг скобки (6.18) равен двум, и поэтому любая система на этой алгебре интегрируема. Гамильтониан (6.15), записанный в новых переменных, приобретает вид
H =Iip21+P22)+U (а2). (6.19)
Следовательно система Леггетта без магнитного поля может быть записана на алгебре (6.18).
Обобщенный (имеется в виду наличие произвольного потенциала U (73)) волчок Лагранжа на алгебре е(3) имеет гамильтониан
