Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
L = AMA"1 - М, тг = AMA"1 +М.
(2.10)
Нетрудно проверить, что коммутационные соотношения (2.7) при этом отображении переходят в коммутационные соотношения алгебры е(4) § 2. Кватернионное представление уравнений движения 105
в стандартном представлении [8]. Как следует из (2.10), между векторами L,7T выполнены соотношения
LA0 + 7г X А = 0.
(2.11)
(L5A)=O, з
которые вместе с уравнением ^^ Ад2 = 1 задают особый (сингуляр-
д=0
ный) симплектический лист ранга шесть.
Замечание 3. Напомним, что симплектический лист алгебры е(4) является совместной поверхностью уровня двух функций Казимира
з з
F1 = Y1 К, F2 = Y,wl (2-12)
/Ll = O Jl = O
где W11 — компоненты четырехмерного вектора, (аналога вектора Паули— Любанского для алгебры Пуанкаре [8]) определяются формулами
Wo = (L,A), W — LA0 + я- X А. (2.13)
Размерность регулярного симплектического листа (F1 = C1 / О, F2 = с2 / 0) равна восьми. Для листа, определяемого соотношениями (2.11) Fi = 1 F2 = О, размерность падает на две единицы.
Трехмерный вектор AMA-1 = N, фигурирующий в (2.10), имеет ясный механический смысл это вектор кинетического момента в абсолютном пространстве. Его проекции на оси неподвижной системы координат:
N1 = (MiOt), N2 = ( M,?), N3 = ( М,7).
С учетом этих соотношений можно выразить тт, L через направляющие косинусы по формулам
Li = (M,a)-Afi, L2 = (М,?) — M2, L3 = (Mj7)-M3, W1 = (М,а) + M1, тг2 = (M,?) + M2, тг3 = (М ,7)+M3.
Воспользовавшись коммутационными соотношениями алгебры е(4) для образующих
M=±(tt-L), N=i(TT + L), 106
Глава 2
получим новую форму гамильтоновых уравнений динамики твердого тела:
й=МхИЧАх
ОН 1 д Hx дХ 2 дХ0
1, дН 2 ~0Х'
л _ 1 x V дН , 1 . дН 1 . y дН , 1, дН А- 2АХ дм + 2АодМ ~ 2 ON 2 ON'
Ао""2 (Л'1м) "2
дН 9N
(2.15)
Сингулярная орбита алгебры е(4), определяющая (2.11), на которой разыгрывается реальная динамика, определяется соотношениями
M2 = N2,
(2.16)
(N - М)А0 + (М + N) x А = 0.
Как уже было отмечено, гамильтониан H является однородной квадратичной формой по всем слагаемым (M,N,Ao,A) в случае, если твердое тело движется вокруг неподвижной точки в суперпозиции трех однородных силовых полей:
з
H = |(АМ,М) + Y CijXiXj. (2.17)
і, j=0
При этом уравнения (2.15) можно представлять себе как уравнения Кирхгофа, описывающими движение четырехмерного твердого тела в идеальной жидкости [135]. В § 1 было показано, что сходная ситуация существует между движением твердого тела вокруг неподвижной точки в однородном магнитном поле и обычными уравнениями Кирхгофа на е(3).
Отметим, что кинетический член в (2.17) является вырожденным (он не зависит от N) и не соответствует кинетической энергии какого-либо четырехмерного твердого тела. jj 3. Движение в суперпозиции однородных силовых полей. Приведение 107
§ 3. Движение в суперпозиции однородных силовых полей. Приведение
1. Приведение к трем взаимоортогональным полям. Рассмотрим твердое тело с неподвижной точкой, на которое действует несколько однородных силовых полей различной природы (например, электростатическое и гравитационное). В этом случае потенциальная энергия может быть представлена в форме
CA = ^(Fi5Fi), (3.1)
і
где Fi — вектор суммарной силы, действующий на тело со стороны г-того поля с постоянными компонентами в неподвижной системе координат), г,; — радиус-вектор точки приложения поля с компонентами, постоянными в системе отсчета, связанной с телом).
Разложим вектор Fi по ортам неподвижного базиса a,?, 7
Fi = Fiaa + Fi?? + FilJ7
при этом коэффициенты Fi01, Fi?, Fi1 являются константами. Подставив в (3.1) и приведя подобные, получим для потенциальной энергии (3.1) выражение
tf = (n,a) + (r2,/3) + (r3,7), (3.2)
где Гі, T2, Гз — некоторые постоянные векторы в жестко связанной с телом системе координат. Таким образом, произвольная система однородных полей (пе обязательно ортогональных!) приведена к трем взаимно ортогональным однородным полям со своими центрами приложения.
При наличии одного поля этот центр приложения один и совпадает с центром тяжести. Рассмотрим как преобразуется выражение (3.2) при изменении базисных ортов неподвижного пространства. Для этого его представим в виде
U=TV(RtQ), (3.3)
где Q — матрица проекций ортов неподвижного базиса па оси, связан- 108
Глава 2
ные с телом (1.2), a R — матрица проекций радиус-векторов центров приложения на те же оси
(т\ rl rl\ R= r? Л г2 . (3.4)
Vi r32 rl)
(При этом матрица R является постоянной, а матрица Q(і) — зависит от времени.)
Изменение ортов неподвижного пространства приводит к преобразованию матрицы Q по формуле Q = Q(t)S, где S — некоторая постоянная ортогональная матрица. Подставив это преобразование в (3.3) получим
U = Tr (rtQ(*)s) = Tr (SRTQ(i)) = Tr (rTQ(*)) •
Таким образом, мы привели одну систему взаимно перпендикулярных однородных полей, направленных вдоль векторов a.?, 7, с центрами приложения, определяемыми матрицей RT, к другой системе перпендикулярных полей, направленых вдоль векторов a,?,j, и матрицей центров приложения
