Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
следует, что для этого необходимо, чтобы а = «і/«з = Y2 или а = 3/4. В первом случае набор показателей Ковалевской (—1,2, 2,0,3,0,1), во втором (-1,2,2,0,3,1/^,1/^). Показатели 0 и Y2 соответственно в первом и втором случае являются кратными, и для отсутствия логарифмического ветвления необходимо, чтобы все миноры шестого порядка матрицы Ковалевской равнялись нулю. Для первого набора это приводит к условию с3 = C1 + С.2, для второго набора — с3 = 0.
При условии с3 = Ci + C2 полный набор интегралов будет указан далее (см. п. 4). В этом случае гамильтониан можно представить в виде
H = ±(М2 + Ml + 2 M32) + CiA2 + c2A2 + (Cl + с2)А2, (4.8)
или
Я = \{Ml + Ml + 2M32) - Xa1 - y?2.
Аналогичный анализ оставшихся двух частных решений приводит к необходимым условиям интегрируемости C1 = C2, C3 = 0, которые определяют волчок Лагранжа — динамически симметричный волчок с одним центром приведения, расположенным на оси динамической симметрии (см. § 1).
Отметим, что для условий с3 = C1 + с2, полученных из анализа первого решения, среди показателей Ковалевской для решений 2,3 появятся дополнительно (2,-1) и ряды Лорана, которые можно получить из этих решений по известному алгоритму (см., например, [178]) уже не будут являться полнопараметрическими (вследствие появления дополнительного отрицательного показателя Ковалевской). Соответствующий набор показателей Ковалевской называется вторичным балансом, в отличие от главного баланса, определяющего полнопараметрическое семейство.
В различных обобщениях метода Ковалевской требуется, чтобы в интегрируемой ситуации существовал лишь вторичный баланс и показатели Ковалевской были бы целыми (не обязательно положительными). В этом случае решение будет однозначным, по, вообще говоря, не мероморфным. Исследованием однозначности уравнений Эйлера— Пуассона занимался A.M.Ляпунов [111]. Однако, его рассуждения пе переносятся непосредственно на систему (4.3).
Для второго случая, подозрительного на интегрируемость (а = 3/4, с3 = 0) вторичный баланс, вообще говоря, не является рациональным. Вероятно, что эти условия не порождают новой интегрируемой задачи. 116 Глава 2
Несколько более сложный, но сходный анализ можно выполнить для случая, когда часть силовых центров лежит на оси вращения, а другая часть в экваториальной плоскости. В этом (и только в этом) случае существуют частные решения типа 1,2,3, и условия неотрицательности и цслочислешюсти показателей Ковалевской приводит к наиболее полному обобщению классического случая Ковалевской. В этом случае гамильтониан имеет вид
H = ±(М2 + M2 + 2M32) - (п, а) - (г2,/9), (4.9)
т. е. два силовых центра, определяемые радиус-векторами гі = = (ga, ha, 0) и r2 = (g?, h?, 0) произвольно располагаются в экваториальной плоскости эллипсоида инерции (исходя из рассуждений § 3 можно полагать, что все три силовых центра находятся в экваториальной плоскости).
4. Обобщение случая Ковалевской. Система с гамильтонианом (4.9) обладает двумя дополнительными инволютивными интегралами
F2 = (N1T1 + N2T2)2 + 2N3(n x r2,m) + + 2(гі x r2,r2 x а - п x ?),
(Mi1-M2 2 j , д V
F3 = I -2--h SaOii - haa2 + g??i - hp?2 I +
+ (MiM2 + gaa2 + haai + g??z + h??i)2.
Фактически эти интегралы были указаны А. Г. Рейманом и М.А.Семе-новым-Тлн-Шанским, хотя эти авторы получили их несколько для иной постановки задачи. Из работы [312, 196] также следует, что интегрируемость сохранится при добавлении гиростата вдоль оси динамической симметрии.
При g? = hp = 0 или ga = Jia = 0 интеграл (4.10) переходит в интеграл площадей (М.а) или (М./З). При ga = h?, Jia = g? = 0 или ha = g?, ga = h? = 0 интеграл (4.10) переходит, соответственно, в интегралы M3 =р (М,7). Если в случае интегралов площадей циклической переменной является угол прецессии ф, то во второй ситуации циклической переменной является угол ip + ф. Это обобщение случая Ковалевской до появления работы [312] было указано X. Яхьей [171].
(4.10)
(4.11) § 4. Метод Ковалевской—Ляпунова и интегрируемые случаи 117
В §§ 5,6 нашей книги этот случай изучен более подробно — в частности, указан его изоморфизм на нулевом уровне циклического интеграла с интегрируемым случаем Чаплыгина в уравнениях Кирхгофа [163].
Отметим интересное наблюдение — интеграл (4.10) для уравнений в переменных М,а,/3,7 имеет степень квазиоднородности 6 и является простым квадратичным интегралом в переменных М, N,An,A для уравнений (2.15).
При этом интегралы типа площадей имеют запись Ni = const. Поэтому вопрос о наличии линейных или квадратичных интегралов разумно поставить именно для уравнений (2.15). Исследование линейных по M и N интегралов приводит только к трем возможным случаям их существования (с учетом возможности приведения путем смены неподвижного базиса (см. §3):
1. Ni = const (і = 1,2,3) (обычные интегралы площадей);
2. Ni±Mi = const (этот случай и его динамическое происхождение подробно разобраны в §4 );
3. Mi = const (это интегралы типа Лагранжа — если он существует, то всегда есть и еще один циклический интеграл Ni = const и система является интегрируемой).
