Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
Rr = SRt. (3.5)
2. Особые случаи. Разберем некоторые частные случаи, при которых преобразование (3.5) может привести к упрощению вида потенциальной энергии (3.2).
1. Центры приложения трех взаимно перпендикулярных полей лежат на одной оси. Для этого случая матрица центров приложения имеет вид
(а 0 0\
Rt = J Ь 0 0 . \с 0 0/
Легко видеть, что ортогональным преобразованием S (3.5) она может быть приведена к виду Rr = diag (Va2 + b2 + с2,0, О), а потенциальная энергия — U = Va2 + Ь2 + c25i = (гі, й). То есть данный случай может быть сведен к случаю одного однородного поля, направление которого определяется вектором а, а центр приложений лежит на той же оси.§ 3. Движение в суперпозиции однородных силовых полей. Приведение 11)9
2. Центры приложения трех перпендикулярных полей лежат в одной плоскости, то есть г? = 0, і = 1,2,3. При этом
(0,1 «2 (Л
h ?>2 О
Cl C2 Oy
С помощью преобразования (3.5) матрица Rr и потенциальная энергия U приводятся, соответственно, к виду
RT= (
\о 0 Oy
U = UCtI + VCL2 + W ?2 = (гі, 5) + ^r2, ?) .
Например, можно выполнить поворот S так, чтобы направление нового базисного вектора а совпало с направлением вектора (глі, Ьі, сі), а вектор (a2,i>2,c2) располагался бы при этом в плоскости ортов a,?. При этом
«1«2 + bib2 + CiC2 и
Поэтому в рассматриваемом случае система сил может быть приведена к двум взаимно ортогональным полям, радиус-векторы центров приложения которых в общем случае неортогональны. Если сделать ортогональными радиус-векторы центров, тогда станут неортогональными поля (в этом случае U = aai + b?2, но ф 0).
3. Если тензор моментов инерции шаровой, то дополняя преобразования S преобразованиями осей, жестко связанных с твердым телом, которые в этом случае не меняют вида кинетической энергии, можно привести U к диагональному виду
U = ani + b?2 + «7з. (3.6)
Так как компоненты a,?, 7 квадратичным образом (2.6) выражаются через кватернионы, то выражение (3.2) может быть представлено как произвольная квадратичная форма переменных X11
1 3
^jEvU' (3-7)
II,V=о
Z2ll2 2 в1й2 + + fiIfi2 / 2 і I2 2 9 = ya( + b( + с(. V= -, W= у/ «2 + b2 + с\ - V1110
Глава 2
В случае (3.6) все недиагональные члены в (3.7) равны нулю (Cij = 0, при любых г ф j).
§ 4. Метод Ковалевской—Ляпунова и интегрируемые случаи
1. Динамически несимметричный случай. Рассмотрим условия интегрируемости системы (2.9) с потенциалом (3.2), (3.7), который для удобства представим в виде:
V = і (CA, A) + (b,A)An + а\1, а Є Ж. (4.1)
При этом С = 11?Il является произвольной трехмерной симметрической матрицей, b — произвольным вектором, а постоянная а несущественна (в дальнейшем положим а = 0) в силу наличия функции Кази-з
мира Y^X2 = 1. Как и в (3.2), в формуле (4.1) присутствует девять
д=0
произвольных коэффициентов, которые совместно с тремя произвольными величинами щ, определяющими кинетическую энергию
T=i(AM,M), A = diag(oi,ffl2,ffl3) (4.2)
задают систему, обладающую двенадцатью произвольными параметрами. Для анализа интегрируемости этой системы можно применить метод, восходящий к С.В.Ковалевской и А.М.Ляпунову ([5, 75], см. также [51]) и связывающий существование полного набора интегралов с мероморфностью общего решения на комплексной плоскости времени. В неинтегрируемой ситуации общее решение, вообще говоря, ветвится и имеет существенные особенности па этой плоскости [220].
Уравнения движения для системы с потенциалом (4.1) имеют вид
M = Mx AM + ^A x CA + i(b. А)А - ^АП(СА + ЬАП),
1 (4.3)
A0 = -i(A, AM), A = І(А x AM) + ІА0АМ.
Рассмотрим прежде всего динамически несимметричный случай Ui < «2 < а3. Для исследования ветвления воспользуемся методом малого параметра [51]. Для этого в уравнениях (4.3) произведем замену§ 4. Метод Ковалевской—Ляпунова и интегрируемые случаи
111
A0 —» \/єАо, X —> </єХ. При є = 0 (случай Эйлера—Пуансо) система допускает частное четырехпараметрическое семейство решений:
M0 = f/і, f= (/1,/2,/3), (^0» ^l! ^2 Дз) =
= Ci(ffli/i,-l,o3/3,-ffl2/2)i_1/2 +с2(1,01/1,02/2, Оз/з)*_1/2 + (44) + Сз(—1, ffli/i, 02/2, оз/з)?1/2 + C4(oi/i,l, оз/з, -а2/2)і1/2,
/і=±—J=, /2 =--^J=, /3=±- *
Va31a21 Va21a32 д/®32®31 '
где С, — произвольные постоянные, Ojj = Oj-Oj. Разлагая решение (4.3) в ряд по малому параметру
M = M0 + sM1 + ... , A0 = Xq + sXl + ... , А = A0 + єА1 + ... ,
получим для M1 линейное неоднородное уравнение с коэффициентами, зависящими от времени. С помощью замены времени t = ехр(г'т) эта система сводится к линейной неоднородной системе с периодическими коэффициентами. Отсутствие вековых членов ткепТ в общем решении такой системы равносильно отсутствию логарифмических членов по первоначальному времени t. Находя спектр и общее решение однородной системы и пользуясь методом вариации произвольных постоянных, можно получить условия отсутствия логарифмических членов.
Пользуясь также несложными симметрийными соображениями, можно заключить, что логарифмических членов не появится только при одновременном выполнении условий Cjj = 0, bi = О для любых значений индексов i,j. Не приводя подробные вычисления, вполне аналогичные приведенным в [51], сформулируем окончательный результат. Теорема 1. В случае динамической несимметрии необходимым и достаточным условиями отсутствия логарифмического ветвления уравнений (4-3) с потенциалом (4-1) является выполнение условия bi = Cij = 0, i,j = 1,... ,3, что соответствует интегрируемому случаю Эйлера—Пуансо (т. е. добавление еще двух однородных полей к уравнениям Эйлера—Пуассона не может сделать систему интегрируемой).