Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Борисов А. -> "Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике" -> 39

Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.

Борисов А. , Мамаев И.С. Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике — Удмуртский университет, 1999. — 470 c.
Скачать (прямая ссылка): puassonistrukturiialgebri1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 144 >> Следующая


Заметим, что решение уравнений (4.3) задачи Эйлера—Пуансо будет обладать ветвлением на комплексной плоскости времени типа квадратного корпя, это в какой-то мере противоречит основной установке классиков (Вейерштрасс, Ковалевская, Ляпунов), которые связывали 112

Глава 2

интегрируемость системы с ее однозначностью на комплексной плоскости времени. Однако, это согласуется с концепцией «слабого» свойства Пенлеве—Ковалевской [240, 340], при котором вместо рядов Лора-па ищутся полпопараметричсские решения па комплексной плоскости времени в виде рядов Пюизо (V. Puiseaux) (по дробным степеням времени ^1/",п Є N). При этом общее решение будет однозначным не па комплексной плоскости времени, а на ее гг-листном накрытии. Отметим также, что в этом случае система остается алгебраически вполне интегрируемой в обобщенном смысле — в уравнениях Эйлера— Пуассона аналогичная ситуация возникает в частном случае Горячева Чаплыгина [65].

2. Обобщение интеграла Гесса—Аппельрота. Как и в классических уравнениях Эйлера—Пуассона для уравнений (4.3) можно найти условия на коэффициенты bi,Cij, при которых существует частный интеграл, обобщающий интеграл Гесса—Аппельрота. Несложные вычисления показывают, что уравнения движения (4.3) обладают частным интегралом

на уровне F = O, если выполнены следующие соотношения между коэффициентами

Можно показать, что условия (4.6) действительно обобщают условия Гесса—Аппельрота и сводятся к ним при наличии всего лишь одного однородного силового поля. Аналогично можно получить два оставшихся условия путем циклической перестановки индексов в (4.6).

Оказывается, что этого интеграла достаточно для интегрируемости уравнений (4.4) в общем случае (А. Г. Холмская).

Запишем классические уравнения Эйлера—Пуассона в специальной системе координат, где а2з = 0. В случае однородного силового поля

F = OtM1 + ?M3,

(4.5)

(4.6)

с22 = cu + c33. § 4. Метод Ковалевской—Ляпунова и интегрируемые случаи 113

рсшсііис ГеССа получастся при условиях «22 = «зз< «зі = а32 = 0, т. с. гамильтониан имеет вид

я = І («uMf + Ia12M1M2 + а22 (M2 + M32)) + 7lrb (4.7)

при этом частный интеграл записывается как M1 = 0. При дополнительном условии «12 = 0 гамильтониан (4.7) переходит в гамильтониан системы Лаграпжа. Отсюда следует, что центр масс тела в случае Гесса, как и в случае Лагранжа при Mi = 0, движется по закону сферического маятника.

Редуцированные с помощью интеграла M1 уравнения движения волчка Гесса и волчка Лагранжа совпадают. Однако при «поднятии» систем дополнительные члены с коэффициентом «12 в уравнениях движения системы Гесса приводят к отличию в динамике двух систем, в частности, одна из переменных подчиняется уравнению Риккати, что делает невозможным выразить решения Гесса в квадратурах. Отметим, что аналогия между случаями Гесса и Лагранжа была указана в [59].

Найдем, при каких соотношениях между коэффициентами сц ква-

з

тернионные уравнения системы с потенциалом U = обла-

i,j=0

дают интегралом Гесса Mi = 0 (в специальной системе координат). В результате получим следующие условия

coo = си, cq2 = -ci3. c0i = 0, с22 = сзз, Cn3 = —<'12-, с23 = 0.

Таким образом, потенциальная энергия приводится к виду U = const + +««і + b?і + С71, т. е. имеем случай одного однородного силового по-ля(§3).

3. Случай динамической симметрии. Исследование условий однозначности существенно усложняется при наличии динамической симметрии «і = а2. Для краткости ограничимся рассмотрением случая, когда V = (CA, А), С = diag(ci, C2, C3), что соответствует тому, что все три силовых центра находятся па различных главных осях эллипсоида инерции.

Вычислим показатели Ковалевской для некоторых частных решений (см. §7 гл. 1). В качестве таких частных решений возьмем Mi = Mfft, Xi = XaJt, где 114

Глава 2

1. Af10 = M20 = Ag = Ag = О, M3" = 2ia3\ A0 — / 1 — ¦

2. M10 = M20 = A2 = Ag = О, M20 = 2га,

/ 1
(Cl - с2)а3'
M20 = 2 ia^1
/ 1

A0 = г / 1 A0 =

1 у (С3 - Cl)«2 ' 3 У (с3 — Cl)а2'

3. M10 = M30 = A? = X03 = О, M20 = 2?^1,

Ао - гУ йгсг' - у

Показатели Ковалевской для этих решений следующие:

1. (-1,2,2, О, З, і ± ^J2(2«2 - За + , где a = O1 /а3;

2. (—1,2,2,0,3,1 — Si, 1 — S2), где si, S2 являются корнями квадрат-

2 , (аі - аз)(ci -C2- с3)

ного уравнения я — .s H---- = Li:

(Il(C1-C3)

3. (—1,2,2,0,3,1 — Si, 1 — S2), где si, S2 являются корнями квадрат-

2 (ai - a3)(ci - C2 - с3) його уравнения s — s--——-= U.

Для нахождения условий интегрируемости можно воспользоваться методом Ковалевской (см. [75, 178, 338]), который требует существования полнопараметрического лорановского разложения общего решения. В этом случае система будет являться вполне алгебраически интегрируемой по Адлеру и ван Мербеке [175, 176, 178]. Для большей общности будем требовать, чтобы (как и в случае Эйлера—Пуансо) существовало полнопараметрическое разложение общего решения в ряды Пюизо с дробным показателем 1J2 (алгебраическая интегрируемость в обобщенном смысле [292]). Это условие можно также получить, если требовать, чтобы общее решение для направляющих косинусов a,?, 7, связанными с компонентами кватернионов Ад формулами (1.1), (2.6), было ме-роморфным. Из анализа показателей Ковалевской для первого решения § 4. Метод Ковалевской—Ляпунова и интегрируемые случаи 115
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed