Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
H = і (K21 + Kl + 4?2) + вві, (6.3)
при любых Fi1F2 существует дополнительный интеграл
G-Ki (K21 +Kl) - аКшз. (6.4)
Однако потенциалу U = asi трудно дать естественную механическую интерпретацию.
Замечание 3. Интересно, что для уравнений (5.11) классический случай Ковалевской с гамильтонианом
H=I (K21 + Kl + 2 Kl) + Sl
и интегралом
+(Kik2-S1)2
становится лишь случаем частной интегрируемости при F2 = 0.
Замечание 4. Можно указать еще одну связь между обобщенным случаем Ковалевской при движении (в трех силовых полях, § 4) и случаем Чаплыгина (для уравнений Кирхгофа на е(3)). Случай Ковалевской представляет собой случай частной интегрируемости уравнений Кирхгофа на е(А) па сингулярной орбите W2 = 0, а случай Чаплыгина является частным случаем интегрируемости уравнений Кирхгофа на е(3) на орбите (7,7) = 1, (М,7) = 0.
Замечание 5. Спустя пятнадцать лет после открытия Чаплыгиным случая частной интегрируемости в уравнениях Кирхгофа. Д. Н. Горячевым было найдено новое обобщение случая частной интегрируемости ((М,7) = 0) при условиях Ковалевской [54]. Он исходит из решения обратной задачи динамики и странным образом пе ссылается па Чаплыгина. Полученный им общий гамильтониан
H = І(M12 + M22 + 2М32) + + 2617172 + Ь2 (7| - 712) + Ci7I + C272, (6.5) z 7з
отличается от случая Чаплыгина [163] дополнительным сингулярным слагаемым -Щ-. Объяснение его алгебраической природы дают преобразова-
7з
ния (5.14) алгебры (5.10) на нулевую орбиту е(3). Вследствие того, что случайjj 6. Изоморфизмы интегрируемых случаев
133
Чаплыгина на (5.10) является случаем общей интегрируемости, в гамильтониане на е(3) появляются дополнительные параметры, соответствующие симплектическим листам исходной скобки. Однако (5.16) содержит наряду
со слагаемым также гиростатические добавки, которых пет в (6.5).
7з
По-видимому, частная интегрируемость для (6.5) сохранится при Добавлении постоянного гироскопического момента с вектором К — (0, 0, К). В случае К = а (а — константа из (6.5)) это выполняется вследствие уравнения (5.18).
При алгебраических преобразованиях (5.18) в гамильтониане также появляются дополнительные слагаемые, аналогичные (6.5):
H-' TT С2 + 2 CC' 2Стз
H =ЯН---------——Мз, (6.6)
Ti +72 Ti + 72
где С = const, С' = (М,т). Наличие двух постоянных С, С' указывает на сохранение интегрируемости (в том числе общей) при добавлении непостоянно-
7з ? го гиростатического момента К = (0, 0. с*—2 или потенциала —--.
Ti + 72 71 +72
Аналогичное объяснение получают гиростатический и сингулярные члены в обобщении случая интегрируемости Горячева—Чаплыгина (для уравнений Эйлера—Пуассона), найденные Сретенским [150] и Горячевым [53].
Яхьей в [337] указан также интегрируемый (при условии (М,7) — 0) потенциал для волчка Ковалевской вида
U = С171 + C2 72 H--а
V1 - 7з
Преобразования вида ш —> 01 + /(01,7)7, также предложенные Яхьей в [337], в общем случае не сохраняют гамильтоновость. Получающиеся в этом случае уравнения и соответствующие случаи интегрируемости не приводят к новым случаям интегрируемости уравнений Эйлера—Пуассона.
2. Задача Якоби на трехмерном эллипсоиде и система Клебша—Переломова. Рассмотрим трехмерный эллипсоид в E4, за-
3 X2 X
данный уравнением: > —? = 1. В координатах qu = эллипсоид
3
приводится к сфере S3: ^^ ?/2 = 1. Лагранжиан движения материально
ной точки по эллипсоиду в потенциальном поле U(q) можно записать в134
Глава 2
виде:
з
L = IYaUl-u^- (6J)
?—O
Вводя избыточные канонические импульсы по формулам P11 =
= Jp^ — Aqti [4], после преобразования Лежандра получим функцию
OQ? Гамильтона
g=l(BP,BP)(Bg,Bg)-(BP,Bg)» 2 (Bg5B9)2
где В = diag («o1,«! 0^1,0^1) = <H&g(bo,bi,b2,b3).
Введем новые, более избыточные, компоненты обобщенных импульсов (моментов импульсов)
n = qoP-po4, (69)
L = q X p. v '
Как несложно видеть, между 7г, L,q, go справедливы коммутационные соотношения алгебры е(4) и инвариантные соотношения (2.11) (необходимо положить Л = q, Ло = go)-Если воспользоваться формулой
(Bp, Bp) (Bg, Bq) - (Bp, Bg)2 = ж2 + L2,
где
7г = Ь0Віт, L = Bq X Bp,
то легко показать, что
н = і Ъ2Ъ2п2 + Ъ2Ъ2п2 + blbjir2 + b\b2L\ + b\b\L\ + b\b\L\ | ^ 2 (Bg,Bg)2
(6.10)
В случае сферы at,} = 1, = 0, ... , 3 получим
H =Un2+ L2) +U (q) . (6.11)jj 6. Изоморфизмы интегрируемых случаев
135
На сингулярной орбите, задаваемой инвариантными соотношениями (2.11), выполняется равенство 7г2 + L2 = 4M2, которое позволяет записать уравнения движения частицы на подалгебре (2.7) в виде (2.9) с гамильтонианом
Таким образом, задача о движении точки по трехмерной сфере с потенциалом U(q) является частным случаем движения в том же потенциале U(q) = U(X) (физическое происхождение которого может быть иным) твердого тела вокруг неподвижной точки с шаровым тензором инерции [17, 81].
Докажем, следуя [32]
Предложение 1. Гамилътонова система (6.10) при U(q) = 0 (задача Якоби на трехмерном эллипсоиде [120]) на многообразии постоянной энергии H = 1 траєкторно эквивалентна системе с гамильтонианом