Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, динамическая система на алгебре (5.10) эквивалентна системе на фиксированной орбите алгебры е(3). При этом параметры, фиксирующие симплектический лист первоначальной скобки (5.10), переносятся в гамильтониан:
н' = \ (lI + lI + aLD + u(s) + 1Ч + с-2(а- 1)Ьз, (5.16)
1 1 ч
то есть однопараметрическое семейство листов заменяется однопара-метрическим семейством гамильтонианов.
Таким образом, уравнения движения редуцированной системы совпадают с уравнениями Эйлера—Пуассона, описывающими движения твердого тела с постоянным гиростатическим моментом К = = (0, 0, с2(а — 1)) в эффективном потенциале
U,(s) = и,(в) + ±Ц.
s3
Константа интеграла площадей при этом равнв нулю.
Связь преобразования (5.14) со случаями частной интегрируемости на е(3) обсуждается в § 6.
III. Возможность представления динамической системы с нелинейной скобкой Пуассона на одном из листов е(3) объясняется тем, что симплектический лист обеих структур (5.7), (5.10) совпадает с (ко)касательным расслоением двумерной сферы — T*S2. Произвольную гамильтонову систему на Т*S2 можно также записать на алгебре е(3).
Пусть в,Lp — сферические кордипаты на S2. a pe,pv — соответ- § 5. Редуцированная пуассонова структура и понижение порядка 127
ствующие им канонические импульсы. Уравнения
7i = sin в sin ip, 72 = ,/сі sin в cos ip, 7i = y/c[ cos в,
sin ip .
Ml = . (c2 - Pm COS 0) + Pe cos 1p, sinfl ^
COS Cz?
M2 = (c2 - pv cos 0) - pe sin ip, M3 = pv
в
(5.17)
задают отображение T*S2 на орбиту е(3), определяемую соотношения-
Таким образом для гамильтоновой системы на каждом отдельном листе скобок (5.7), (5.10) можно указать преобразование к алгебре е(3) вида (5.17). Однако уравнения (5.14) задают отображение сразу для всей алгебры (5.10) и имеют простую алгебраическую форму.
IV. Укажем нелинейное преобразование алгебры е(3). сохраняющее коммутационные соотношения (аналог канонических преобразований):
где, как и выше, С — произвольная функция Казимира.
При преобразовании (5.18) орбита 72 = C1, (М, 7) = с2 отображается целиком в другую орбиту
Линейные преобразования, сохраняющие скобку Ли—Пуассона, хорошо известны [156]; они определяются группой Ли, соответствующей данной алгебре скобок. Такие линейные преобразования оставляют неподвижными орбиты алгебры и определяют на каждой орбите некоторое каноническое преобразование. В отличие от них, преобразования (5.18) «переставляют» симплектические листы в алгебре и поэтому пе могут быть получены как семейство канонических преобразований на симплектических листах.
ми
T2 = Ci, (М,7) = с2.
(5.18)
іT1 = M3,
C11=I2 = Cl,
с2 = («х, 7) = (М, 7) - с = C2 - C(CltC2). 128
Глава 2
Замечание 3. Отображение (5.18) является одним из примеров нелинейных преобразований, сохраняющих структуру скобок Ли—Пуассона е(3). Насколько нам известно, в общем случае такие преобразования мало изучены.
Особенность при 7i + 7І = 0 в представлении (5.18) является в некотором смысле неустранимой. Действительно, известно [129], что глобальные канонические переменные на симплектических листах е(3) могут быть введены только для орбит, удовлетворяющих условию (М,7) = 0. Преобразования (5.18) позволяет спроектировать всю алгебру е(3) на симплектический лист (<т, 7) = 0 (необходимо выбрать С = (М, 7)) и получить затем обычные канонические переменные. Однако при этом в гамильтониане появляется особенность в полюсах сферы 7i + 72 = 0 (исключение составляют орбиты (М,7) = 0).
Преобразование вида a = M — (М, 7)7, используемое в работе С.П.Новикова [129], также проектирует алгебру е(3) на лист (<7,7) = 0, однако не сохраняет скобку. Хотя в этом случае получается «хороший» гамильтониан, симплектическая структура для листов (М, 7) / 0 неканоническая и содержит неточную форму гироскопических сил.
Такая особенность для гамильтоновой системы на орбите е(3), для которой (М, 7) ф 0, называется монополем Дирака. При устранении ее из скобки она появляется в гамильтониане и наоборот.
V. Пример преобразования, сохраняющего нелинейную (квадратичную) скобку Пуассона, возникает при исследовании проблемы коллапса и рассеяния в динамике вихрей (§5 гл. 4).
Рассмотрим трехмерную квадратичную алгебру (см. § 5 гл. 5)
(^UX2J = X1X2, {^2,X3] = X2X3. IX3^Xij = X1X3. (5.19)
Однородное преобразование, отображающее бесконечно удаленную точку системы (5.19) в начало координат вида
Vi = , Х% , і = 1-2,3,
SjX1X2X3
сохраняет скобку (5.19).
4. Относительные равновесия и аналог конуса Штауде. Для
уравнений (5.11) рассмотрим вопрос об относительных равновесиях. Этот вопрос для уравнений Эйлера—Пуассона был исследован Штауде [4,112]. Для нахождения относительных равновесий необходимо найти такие направления s, для которых К = 0, s = 0. С учетом уравнений § 5. Редуцированная пуассонова структура и понижение порядка 129 движения (5.11) получим
s=|fxs = 0,
то есть
§ = As, ЛЄЛ. Если выбрать гамильтониан в виде
H = І (К, AK) +U (s), то на уровне F2 = s3 (K,s) = с получим
