Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Борисов А. -> "Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике" -> 42

Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.

Борисов А. , Мамаев И.С. Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике — Удмуртский университет, 1999. — 470 c.
Скачать (прямая ссылка): puassonistrukturiialgebri1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 144 >> Следующая


Например, невозможность непосредственного применения техники расщепления сепаратрис связана с тем, что в шестимерпом фазовом пространстве неустойчивые перманентные вращения (являющиеся 120

Глава 2

гиперболическими периодическими решениями приведенной системы) невозмущенной системы Эйлера Пуансо определяют вырожденные неустойчивые трехмерные инвариантные многообразия. Эти многообразия разрушаются при возмущении, и применение стандартной теории Пуанкаре—Мельникова невозможно. Интересно было бы найти условия расщепления сепаратрис к родившимся невырожденным инвариантным многообразиям и вытекающие из них необходимые условия иптгери-руемости (по некоторым направлениям это расщепление будет экспоненциально малым). Маловероятно, что наложение двух дополнительных полей мо?кет привести к нетривиальной интегрируемой ситуации, однако, возможно появление условий типа Гесса Аппельрота, определяющих пару сдвоенных сепаратрис. Все эти вопросы остаются пока неизученными.

Замечание 1. Гамильтоповы системы с гамильтонианом (4.9) являются интегрируемыми на сингулярной орбите алгебры е(4). На всех других орбитах поведение системы также будет регулярным, т. к. уравнения (2.15) для N отделяются и интегрируются после того как решены уравнения для М, А, Ao. В [135] приведены системы на е(4), являющиеся обобщениями случаев Клебша уравнений Кирхгофа па е(3), которые обладают полным набором инволю-тивных интегралов на любой (не обязательно сингулярной) орбите. Однако они не порождают интегрируемые задачи рассматриваемой системы (4.1,4.2), кроме случая шарового волчка. Интегрируемое обобщение случая Ковалевской (4.9) также не может быть получено из результатов [135] и является новой интегрируемой системой для уравнений Кирхгофа на е(4).

Замечание 2. В работе [94] поставлен вопрос об условиях регулярности га-мильтоновой системы. Эти условия предполагают возможность регулярного поведения при отсутствии полного набора первых интегралов (интегрируемость по Лиувиллю, §3 гл. 1). В этом случае, однако, должны существовать поля симметрии, многозначные интегралы или другие тензорные инварианты, наличие которых в определенной комбинации приводит к интегрируемости в квадратурах. По-видимому, для квазиоднородных гамильтоновых (в общем случае с вырожденной скобкой Пуассона) систем, условия регулярности и интегрируемости по Лиувиллю совпадают, т. е. наличие полного набора тензорных инвариантов обеспечивает существование полного набора инволютивных интегралов, необходимых для теоремы Лиувилля. Однако это утверждение не доказано, а контрпример к нему также не найден. § 5. Редуцированная пуассонова структура и понижение порядка

121

§ 5. Редуцированная пуассонова структура и понижение порядка

Наличие циклических координат в канонических уравнениях движения позволяет выполнить понижение порядка по Раусу и получить приведенную систему. На алгебраическом уровне соответствующая процедура редукции приводит к понижению ранга пуассоновой структуры. При этом число уровней, описывающих систему, как правило, также уменьшается и они более удобны для дальнейшего исследования. Рассмотрим два случая возможной редукции для кватернионных уравнений (2.9).

1. Редукция по углу прецессии. Покажем, как получаются уравнения Эйлера Пуассона (см. §1 гл. 1, §1 гл. 2) из общих кватернионных уравнений (2.9).

В случае осевой симметрии силового поля уравнения движения (2.9) допускают первый интеграл — интеграл площадей F = = (М,7). При этом единичный вектор 7, направленный вдоль оси симметрии силового поля, выражается через компоненты кватернионов Л, Ao по формулам (2.6):

71 = 2 (aia3 - a2a0), 7г = 2 (a2a3 + a0ai),

7з = _Л2_Л2+Л2+Л2_ (5Л)

В качестве новых переменных, определяющих редуцированную скобку Пуассона, необходимо взять первые интегралы (см. § 8 гл. 1) потока, порожденного гамильтонианом F.

Подставляя в (2.9) H = F получим систему уравнений

m =0, a0 = -|л3, al = -Ia2, a2 = іаі, a3 = ±л0. (5.2)

Легко видеть, что компоненты векторов М,7 определяют замкнутую систему интегралов уравнений (5.2) и образуют алгебру е(3).

Гамильтониан в случае осесимметричного силового поля также выражается через М, 7, и па общем уровне функций Казимира (М,7) = с и (7,7) = 1 система сводится к системе с двумя степенями свободы (ранг падает на две единицы).

Несложно проверить, что отображение (5.1) задает известное расслоение Хопфа [61] трехмерной сферы S3 на окружности с базой — двумерной сферой S2. 122

Глава 2

Локальное проведение описанной процедуры соответствует редукции Рауса исключения переменной ф (угла прецессии) и получении системы па сфере Пуассона, параметризованной углами Lp.

В данном примере редуцированная скобка также является линейной и определяется алгеброй Ли е(3). Однако, возможны симметрии, приводящие к нелинейной скобке Пуассона.

2. Редукция по переменной ф±(р. Нелинейная алгебра скобок Пуассона. Рассмотрим случай, когда циклической переменной является переменная ф — Lp (или аналогично ф + ір). Это возможно, если потенциальная энергия зависит лишь от переменных ф + Lp и, кроме того, тело обладает осью динамической симметрии. В этом случае гамильтониан можно записать в виде
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed