Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
Из кинематики известно, что из любого положения твердого тела, имеющего неподвижную точку О, можно перейти в заданное, совершая поворот на угол х относительно оси OL, связанной с телом (рис. 2). Ориентацию оси OL зададим единичным вектором е. Положение некоторой точки тела определим радиус-вектором ОЙ = т. Пусть после поворота вектор г оказывается в положении ОЙ' = г'. Вектор
р = ОЙ' - ОЙ = г' - г
можно выразить через г, е и х- Указанная связь определяется формулой Родрига
P=-Ц— вх(т+Ухг), (2.1)
1 і ІД2 L 102
Глава 2
где вектор
fl = 2tg|e (2.2)
называется вектором конечного поворота. Этот вектор направлен по оси единичного вектора е и равен по величине 2tg(x/2). Пусть
е = і cos a' + j cos/3' + k-y', (2.3)
где a\?'. 7' углы, образуемые вектором е с осями x.y,z. Величины:
V -у
Ao = Cos^, Ai = cosa' sin ,
У У
A2 = cos ?' sin —, A3 = cos 7' sin —
(2.4)
и есть параметры Родрига—Гамильтона. Нулевой параметр An равен косинусу половинного угла х- определяющего конечный поворот тела. Остальные параметры Ai, A2, A3 пропорциональны синусу половинного угла х- умноженному на косинусы углов, образуемых осью OL с осями координат.
Имеется связь параметров Родрига—Гамильтона с углами Эйлера в, <р, ф:
. в Ф + V л -в "Ф -V
Ao=COS^COS-~-, Ai=Sin^COS-~-,
2 z (2.5)
. . в . ф - tP . в ¦ Ф +1P
A2 = sin - sin —2—5 A3 = cos 2 sin —2— >
Направляющие косинусы a,?, 7 связаны с кватернионами квадратичными соотношениями, задающими параметризацию Кэли группы SO(S) (при этом получается двулистное накрытие SO(S) трехмерной сферой S3 — кватернионам А; и —Аі соответствует один и тот же элемент из 50(3)). Матрица направляющих косинусов (1.1) в кватер-пиошюм представлении имеет вид:
/Ao2 + Ai2 — A22 — A32 2(А0А3 + AiA2) 2(АіАз — AoA2) Q=[ 2(AiA2 -A0A3) A02-Ai2+A22-A32 2(A0AI+A2A3) 2(АоА2+АІА3) 2(А2АЗ — AoAi) Ao -Ai -A2 +A3
(2.6) § 2. Кватернионное представление уравнений движения 103
В индексной форме для компонент матрицы Q справедливо следующее выражение
Qij
— —2 ^AjAj + ^Ag — Tj^jtiij — AQA kSijkj-
2. Уравнения движения. Обозначим проекции кинетического момента на подвижные оси M(Mi, M2, Мз). Уравнения движения в переменных М,А0,А можно получить из уравнений Пуанкаре—Четаева, аналогично § 1. Для этого можно воспользоваться известным соотношением
Wi = 2(AoAi + A3A2 — A2A3 — AiAo), w2 = 2(—A3Ai + AoA2 + AiA3 — A2Ao), W3 = 2(A2Ai — AiA2 + AoA3 — А3А0)
или непосредственным выражением w,A через переменные Эйлера 9,ір,ф,р$,р<р,рф. Вычисляя структурные константы Ckj, можно получить следующие коммутационные соотношения
{Mi, Mi) = -SijkMk, {Mi, Ао} = і А і,
1 (2.7)
{МІ, Aj} = (?ijkXk + ^ijA0), {Ад, Az,} = 0.
Определяющая их алгебра Ли представляет собой полупрямую сумму алгебры вращений so(3) и алгебры трансляций E4 : 1(7) Ri so(3) Шв Ж4.
Скобка (2.7) является вырожденной. Она обладает единственной функцией Казимира
F(A) =A2+A2+A2+А2. (2.8)
Неособый симплектический лист гомеоморфен кокасательному расслоению трехмерной сферы T*S3, его размерность равна шести. Гамиль-тоновы уравнения могут быть записаны в следующем виде
Ж і Ia у М + ІМі-Ь ОМ.
дМ + 2 дХ 2дХ0 2 0 дХ '
л„ = -1(л,М), (,.„
л _ 1Л х дн 1 л дн 104
Глава 2
Уравнения (2.9) по сравнению с (1.2) содержат меньшее количество переменных (всего 7 вместо 12-ти) и очень удобны для численного интегрирования, так как соотношения ортопормироваппости между a,?, 7 будут заведомо выполнятся.
При описании динамики твердого тела в осесимметричном потенциале уравнения (2.9) также имеют дополнительные преимущества по сравнению с уравнениями Эйлера—Пуассона. В этом случае пе требуется выполнять дополнительной квадратуры для угла прецессии, необходимой для полного определения положения тела в пространстве.
По сравнению с обычной кватернионной формой уравнений движения, содержащей наряду с избыточными координатами Ao, А соответствующие скорости Ay, А или импульсы р0, р = [рі,р2,рз)і уравнения (2.9) имеют меньшее количество переменных (7 вместо 8) и более простую алгебраическую структуру (например, для суперпозиции однородных полей, уравнения (2.9) являются однородными квадратичными, см. §3). Кроме того, нетрудно показать, уравнения (2.9) сохраняют стандартную инвариантную меру при произвольной функции Гамильтона Н.
Замечание 1. Некоторые интегрируемые случаи уравнений (2.9), отличные от указанных в § 1, для которых по выполнены условия осссимметричпости силового поля, можно извлечь из работ [17, 81].
Замечание 2. После выхода работы [32] возможность применения системы (2.9) к анализу уравнений Эйлера—Пуассона была отмечена в работе [144]. К сожалению, никакой ссылки на [32] в ней нет.
3. Представление на алгебре е(4). Укажем еще одну форму уравнений движения твердого тела в виде гамильтоновой системы на алгебре Ли е(4) движений четырехмерного евклидова пространства. Рассмотрим отображение семимерной алгебры 1(7) с образующими М, А (2.7) в алгебру движений четырехмерного евклидова пространства е(4) (см. приложение D) с образующими L, тг, А, заданное формулами:
