Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Борисов А. -> "Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике" -> 43

Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.

Борисов А. , Мамаев И.С. Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике — Удмуртский университет, 1999. — 470 c.
Скачать (прямая ссылка): puassonistrukturiialgebri1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 144 >> Следующая


H= I (M12 + M2 + аМ2) + U (в, Lp + ф), а Є I, (5.3)

а соответствующий координате ф — Lp циклический интеграл примет вид

F=(Ml7)-M3, (5.4)

где компоненты 7 выражаются по формулам (5.1). Геометрический смысл интеграла (5.4), обусловленный аналогией между движением шарового волчка и материальной точки на S3, обсуждается в § 1 гл. 3.

Уравнения (2.9) с гамильтонианом (5.4) имеют вид

M1 = -M2, M2 = M1, M3 = 0.

. ; (5-5)

Ao — 0, A1- -A2, A2-A1, A3- 0.

Несложно проверить, что уравнения (5.5) допускают следующие интегралы движения

Pl = M1A1 + M2A2, Р2 = M2A1 - M1A2, рз = TM3Jx21 +X22,

- V (5.6)

si = A3, s2 = Au, S3 = ±\JX\ + X22, образующие замкнутую квадратичную алгебру.

IPijPj} = \sijk (skp3 + S3Pk),

{Pi, sj} = ^eijkSkS3, (5-7)

{«г, Sjl = 0. § 5. Редуцированная пуассонова структура и понижение порядка 123

Скобка Пуассона (5.7) является вырожденной и обладает двумя функциями Казимира

Ji = (S5S), F2 = (s,p) = (М,7)-M3.

На их общем уровне система сводится к обычной гамильтоновой системе с двумя степенями свободы.

Гамильтониан (5.3) в переменных p,s принимает вид

H=f1+p\+aphu(s). (5.8)

«з

Формулы (5.6) для Si задают двузначное отображение S3 —> S2, которое определяет слоение трехмерной сферы на орбиты потока (5.5), не совпадающее с расслоением Хопфа (и даже не являющееся расслоением). Двум различным точкам S2: (si,s2, s3), (si, s2, —S3) соответствует одна и та же орбита системы (5.5). Исключение составляют точки экватора S3 = 0: каждой из них соответствует своя орбита на S3, которая в данном случае вырождается в точку.

Для геометрической интерпретации рассмотрим стереографическую проекцию трехмерной сферы S3 па R3, задаваемую формулами

A0

Хі ~ 1 — Ai' Ж2 ~ I-Ai' Жз" I-Ai-При этом траектории системы (5.5), задаваемые интегралами s = const перейдут в окружности (рис. 3)

2 2./2. 2 Л I S1X3 + (S1 + S2) X1 -

2 2

Sl \ _ SiS3

2 2,/2.2\ / S2 1 S2S3 S2X3 + (Si + S2) I X2 - --J I = --J .

I-S23J I-S3

2 2 ^2 S3

1-4 J 1 - s|

Двузначное отображение S3 —> S2 (5.6) можно рассматривать как сопоставление каждой траектории пары точек на сфере X1 + X2 + х\ = 1 (исключение составляют точки экватора).

В векторном виде уравнения движения редуцированной системы в

переменных p,s с учетом замены времени t —> ^t имеют вид

xs+s3f x^p^fxs'

ЯП (5-9)

S = SjfXS. др 124

Глава 2

Рис. 3

Если перейти к новым переменным К = р/яз, то коммутационные соотношения примут вид

[K1, K3] = -K2, [К2,К3]=Кl5 [KuK2] =K3 + -f,

4

Sj} = eijkSk, {^ь } = О,

(5.10)

где F2 — функция Казимира структуры (5.10), F2 = (s,K)s3 (вторая функция Казимира также равна F1 = (s,s) = 1). Из формул (5.10) видно, что алгебра (5.10) совпадает с алгеброй е(3) на нулевой константе интеграла F2.

Уравнения движения в переменных K,s отличаются от уравнений Гамильтона на алгебре е(3) [32] лишь дополнительным слагаемым



S = SX

дН

9К'

(5.11)

здесь ез = (0,0,1). Уравнения движения (5.11) сохраняют стандартную инвариантную меру. При F2 = 0 добавка к уравнениям Кирхгофа пропадает.

Замечание 1. Наличие особых орбит в слоении (5.6), соответствующих ,S3 = 0, приводит к тому, что при Fz ф 0 в редуцированной системе с гамильтонианом (5.8) появляется неустранимая особенность в точках экватора (S3 = 0). При устранении этой особенности из скобок Пуассона (5.7) она § 5. Редуцированная пуассонова структура и понижение порядка

125

появляется в гамильтониане (5.8), а при устранении из гамильтониана она появляется в скобке (5.10).

Замечание 2. Еще одна редукция сразу по двум интегралам движения (один из которых нелинейный по импульсам) рассмотрена в § 6. При этом получается нелинейная скобка Пуассона ранга два, и уравнения движения всегда будут интегрируемыми.

3. Алгебраические преобразования. В теории алгебраических пуассоновых структур важное значение имеют преобразования, сохраняющие алгебраическую форму этой структуры. Их исследование позволяет выявить, иногда неожиданные, связи между различными задачами (см. §6). Рассмотрим преобразования приведенных выше нелинейных скобок.

I. Квадратичная алгебра (5.7) допускает преобразования вида

р;=р -cs' (5.12)

(С — произвольная константа или функция Казимира), сохраняющие коммутационные соотношения. При этом симплектические листы

S2=ci, (p,s) = c2

«сдвигаются»:

ci = ci, c2 = c2 - c(ci, c2)ci,

и появляются дополнительные слагаемаемые в гамильтониане. Например, для (5.8) преобразованный гамильтониан имеет вид

Я' = Я(р', в) + 2(« - 1)С§| + +C(p/lS)2+g2s2 + С2(а - 1). (5.13)

S3

Возникающие в (5.13) добавки аналогичны действию центробежных и гироскопических сил.

II. Для алгебры (5.10) преобразование (5.12) принимает форму

L=K-C^. (5.14) 126 Глава 2

Выбирая функцию С = --—, зададим отображение (проекцию)

S

всей алгебры (5.10) на симплектический лист алгебры е(3)

{Li, Lj} = EijkLk, {Li, Sj} = SijhSk, = 0,

определенный соотношением

S2 = ci, (L,s)=0. (5.15)
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed