Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
Определим скобку Пуассона, заданную независимыми функциями Л,- - і fn—2 по формуле
{F, Gjdx1 А ... Л dxn = ^df1 А ... Л dfn-2 AdFA dG, (5.21)
где F, G произвольные функции, a /i,... , fn-2 являются функциями Казимира скобки (5.21). Система (5.20) является мультигамильтоновой с п — 1-параметрической скобкой Пуассона вида
{F,G}xl...xn_ldx1A... ,Adxn = ^ (Aidf2 А... Adfn^ AdFA dG + ... +
+ A„_id/i А ... A dfn-2 AdFA dG). (5.22) Соответствующее семейство гамильтонианов имеет вид
„ ^lfl +¦¦• +^n-I fn-l , ,
Н = —-TT^-' = const'
A1 + . . . + Aj^1
а множитель р находится из заведомо выполненного условия v = pw.
Ранг скобки (5.22) равен двум. Из этого, в частности следует, что для псе справедливо тождество Якоби. § 5. Вигамилътоновы системы
55
Пример 6. В качестве примера, иллюстрирующего теорему 6, рассмотрим трехмерную систему типа Лотки—Вольтерра [34].
M1 =F1M1(M2-M3),
M2 = T2М2(М3 - M1), Ti = const. (5.23)
M3 = T3M3 (M1 - M2),
Как будет показано в гл. 4, эта система траєкторно изоморфна задаче о движении трех точечных вихрей в идеальной жидкости. Она имеет интегралы
F1 = Yi^r1Mi, F2 = Yi Tr1InMi (5.24)
и две соответствующие им согласованные пуассоновы структуры
{Mi, Mj] = SijkTiFjM1M2M3, {Mi, Mj)* =SijkTiTjMiMj. ( ' 0)
Обе эти структуры (одна из которых кубична, а другая квадратична) не являются структурами Ли—Пуассона. Оказывается, что и первая (кубическая), и вторая (квадратичная) пуассоновы структуры допускают обобщение — на них могут быть представлены различные варианты многомерной системы Лотки—Вольтерра (см. §4, гл. 5).
Пример 7. Рассмотрим вопрос о гамильтоновости системы
п
= Xi(YXk ~ 2ж®)' І = 1,- (5.26)
ft = l
которая также принадлежит к классу систем типа Лотки Вольтерра (см. § 4 гл. 5) и при п = 3 была рассмотрена С. В. Ковалевской в письме к Г. Миттаг-Леффлеру [172]. Она показала, что в этом случае система обладает двумя независимыми квадратичными интегралами вида
Ф = Yj a*XiX'h Y <lk = П
ІФІ
и интегрируется в тэта-функциях.
По теореме 6 при п = 3 система (5.26) является бигамильтоно-вой с двумя согласованными скобками Ли—Пуассона (и обладает инвариантной мерой). Несложные вычисления показывают (классификация 56
Глава 1
Бьянки [61]), что каждая скобка пучка изоморфна алгебре «о(2,1), а уравнения (5.26) представляют собой некомпактную версию вращения свободного твердого тела.
При п = 4 система (5.26) обладает тремя независимыми квадратичными интегралами вида Fi = (жі — х%)(х2 ~ха), F2 = (жі — х2)(хз — xi)i Fz = (ж і — Ж4)(х2 — хз). По теореме 7 в этом случае система является мультигамильтоновой с линейными скобками Пуассона.
При п > 4 вопрос об интегрируемости, гамильтоновости и существовании инвариантной меры системы (5.26) остается открытым. Можно только показать, что при п > 4 больше не существует ни одного квадратичного интеграла (а стало быть и структуры Ли—Пуассона). Тем не менее, все показатели Ковалевской (см. § 7) являются рациональными, что вообще говоря, не препятствует интегрируемости.
§ 6. Уравнения Пуанкаре—Четаева
1. Уравнения Пуанкаре. Рассмотрим уравнения движения ла-гранжевой динамической системы, определенной обобщенными избыточными координатами qi,... , qn (вообще говоря, зависимыми, то есть наложены т < п голономных связей вида fj(q) = 0, j = 1,... , m) и квазискоростями OJ 1,... ,0;?, которые выражаются через обобщенные скорости по формулам
= (q)ws, і = 1,...,п; s = l,...,к,. (6.1)
s
При этом предполагается, что все голопомпые связи учтены, то
есть
Qf.
(VJj-, q) = E ^ ^=0' j = •' •'т-
is
В случае к > п это условие приводит к тому, что между квазискоростями выполнены линейные ПО Wj соотношения.
Величины OJs называются параметрами Пуанкаре и представляют собой компоненты скорости системы в пеголопомпом базисе векторных полей
z^ lOqi
(6.2) § 6. Уравнения Пуанкаре— Четаева 57
Предположим, что векторные поля образуют замкнутую систему
= hj- я = 1,... .к. (6.3)
В случае к ^ п это условие является следствием интегрируемости связей [61]. Если все CjJ являются постоянными, то поля Vs определяют некоторую конечномерную алгебру Ли. Уравнения движения в переменных (?,... .qn, Wi,... ,u>k) в лагранжевой форме были получены А.Пуанкаре [307]:
'• = '.....(6-4)
4 ' Г,S
где дифференцирование вдоль векторного ПОЛЯ Vі определено с помощью формулы (6.2).
2. Гамильтонова форма. Уравнения Пуанкаре—Четаева.
Н. Г. Четаев преобразовал уравнения Пуанкаре [164], введя новые переменные Mi = OLjdbJi (квазиимпульсы) и осуществив преобразование Лежандра:
^wiMi -L Iw^m= Я(Мі, ... , Mk, gi, ... , qn). (6.5)
І
При этом UJi = дН/дМі и уравнения (6.4) можно записать в виде:
^ = Ес?<щ;м«-и<(я)' i = (6.6)
Г :S'
Чтобы получить замкнутую систему, надо добавить к (6.6) уравнения (6.1):
« = ?"<(<1)ЩЇ> і = 1, (6-7)
Система уравнений (6.6), (6.7) является гамильтоновой. вообще говоря, с вырожденной скобкой Пуассона, определяемой для произвольных функций /(M,q), g(M, q) формулой [143, 164]
