Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
4. Метод сдвига аргумента. Согласованные скобки Пуассона возникают также естественным образом из метода сдвига аргумента [152,156]. Напомним сущность этог метода, позволяющего получать функции в инволюции па коалгебре Ли д*. (па которой определена скобка Ли—Пуассона, см. § 1). Пусть / и g — инварианты коприсоединен-ного представления группы Ли 65, т. е. гладкие функции, постоянные на орбитах коприсоединенного представления Ad* . Пусть а Є g* — произвольный элемент коалгебры. Тогда функции f\,a(x) = f(x + X а) и gp,a(x) = s(x + Ma) находятся в инволюции па д* при любых А, /л Є R.
В некоторых случаях в качестве инволютивного семейства удобно рассмотреть совокупность однородных полиномов, полученных при разложении в ряд локальных инвариантов представления Ad* в регулярной точке а, Є 0*:
f(a + Xx) = P0 + XP1(X) + ¦¦¦ .
Метод сдвига аргумента является частным случаем общей конструкции построения инволютивных семейств по произвольной паре согласованных скобок Пуассона. Вторая пуассонова структура определяется формулой
{f,g}a(x) = {a,[df(x),dg(x)}}.
Тензорное поле, определяющее скобку {-, ¦}„ является постоянным, а скобки Пуассона {•, •}, {-,-ja согласованы и образуют пуассонов пучок. При этом функции вида /а;0, = f(x + Aa), где / — инвариант представления Ad*, являются аннуляторами для линейной комбинации а{-,-} + /3{-,-}ц, ?ja = А. Как уже было отмечено, полнота инволютивных семейств, полученных из метода сдвига аргумента и из общих пуассоновых пучков, изучена в [19]. § 5. Вигамилътоновы системы
49
5. г-матрица. Согласованные скобки возникают в методе классической г-матрицы [311]. Пусть g алгебра Ли и R линейный оператор па д. Определим па g билинейную операцию [-, •] согласно формуле
[?,»7]r = [R&»7] + [?,R»7], Є д.
Эта операция кососимметричпа. Если [•, удовлетворяет тождеству Якоби, то оператор R называется классической r-матрицей, а пара (g,R) называется двойной алгеброй Ли. При этом оператор R удовлетворяет так называемому модифицированному уравнению Янга— Бакстера:
Двум скобкам Ли соответствуют две скобки Ли—Пуассона па д*:
{/(x),/i(x)} = <x,[#(x),dft(x)]>, (5.8)
{/(x),ft(x)} к = (x,[^(x),dft(x)]>R. (5.9)
Опишем линейное семейство r-матриц. для которых соответствующие R-скобки образуют лиев пучок, а скобки Пуассона (5.8) и (5.9) являются согласованными. Это семейство параметризуется пространством сплетающих операторов для присоединенного представления алгебры д.
Определение 6. Линейный оператор в ц называется сплетающим, если
А о ad X = ad X о А
для всех X Є д.
Справедливо следующее утверждение [311]: Теорема 5. Пусть R классическая r-матрица. Если оператор А является сплетающим, то RA также классическая r-матрица и соответствующие скобки Ли образуют лиев пучок.
В методе r-матрицы гамильтоновы уравнения движения, определенные второй скобкой (5.9) и гамильтонианом, являющимся аппуля-тором скобки (5.8), записываются в представлении Лакса—Гейзенбер-га [132, 146]. Отметим, что подход, основанный на понятии двойной алгебры Ли, не следует смешивать с теорией бигамильтоновых систем. В последнем случае одни и те же уравнения гамильтоновы относительно разных скобок Пуассона. В методе r-матрицы уравнения движения, порожденные функциями Казимира скобки (5.8) (которые используются 50 Глава 1
как гамильтонианы) и скобкой (5.9), вообще говоря, пс являются га-мильтоновыми относительно скобки Ли—Пуассона алгебры Ли g (5.8). Взаимоотношения между этими методами мы также обсудим в §§9,10 гл. 2, где будет приведен один дифференциально-геометрический подход к построению L — А-пары с рациональным спектральным параметром.
В связи с изложенными выше способами установления интегрируемости системы (4.1) сформулируем два не вполне решенных вопроса.
1. Связано ли существование представления Лакса—Гейзенберга с гамильтоновостъю динамической системы (прямой связи здесь нет — в виде L — А-пары можно записать некоторые уравнения неголономной механики [235] и уравнения Гамильтона, в отличие от (5.2) не выдерживают замену времени).
2. Существует ли связь между бигамильтоновыми системами и наличием представления Лакса—Гейзенберга со спектральным параметром.
Частичные ответы на поставленные вопросы будут получены в §§9,10 гл. 2.
6. Примеры бигамильтоновых систем.
Пример 1. Вполне интегрируемая гамильтонова система в переменных действие-угол (І,ір), имеющая вид
I1 = ... = In= 0, фі = (Aj1,... ,фп = шп, (5.10)
. j д{шх,...,шп) где Wfc - функция ОТ I, В невырожденном случае —-- ф 0,
d(h,... ,In)
допускает запись в различных неэквивалентных гамильтоновых формах [89]. При этом симплектическал структура имеет вид
п
ш = dtp, V = Yjf^diPk, (5.11)
A=I Шк
а функция Гамильтона
^ = (5-12) a=I *
Здесь К — невырожденная функция от частот Ui1,... ,шп:
д2К
det
dtjjidtjjj
ф 0. § 5. Вигамилътоновы системы 51
Точные снмплектические формы, нумеруемые различными функциями К(и>), естественно являются согласованными. Кроме того, как показано в §4, система (5.10) допускает представление в виде L —А-пары со спектральным параметром. В работе [89] показано также, что все инвариантные меры невырожденной интегрируемой системы (5.10) ли-увиллевы (см. §2).
