Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Борисов А. -> "Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике" -> 16

Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.

Борисов А. , Мамаев И.С. Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике — Удмуртский университет, 1999. — 470 c.
Скачать (прямая ссылка): puassonistrukturiialgebri1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 144 >> Следующая


(h О О ' Ik

О

V

При этом

Ls =

\

L1 О

Фа Фа ~Фв ~Фі

О

Lm )

А =

Ai. =

( 0 0
A1
0
V Am
0
—ibjs/2 о )¦

ф8 = схр(г^8) (1 ^ s ^ т). Этот пример является простой модификацией представления из [82].

§ 5. Бигамильтоновы системы

Еще одним способом обнаружения и доказательства интегрируемости многомерных гамильтоповых систем, связь которого с методом L — А-пары до сих пор не вполне изучена, состоит в нахождении для динамической системы (4.1) пары согласованных скобок Пуассона (см. § 2). При этом предполагается, что кроме естественной скобки Пуассона, определяемой бивектором Jo, имеется еще одна согласованная с первой пуассопова структура (тензор Схоутепа таких структур равен нулю [Jo, Ji] = 0 см. §2), а сама система допускает запись в двух различных формах

і = {х, Яо}о = {•'/;, #i}i, X Є M (5.1)

(J; обозначает матрицу структурного тензора соответствующего структуре {•,•}»)•

Система, допускающая запись в п различных и независимых гамильтоповых формах

X = {ж,/i }i = ... = {x,fn}n, (5.2)

где скобки {-, -}i, ...{•, •}„, являются согласованными, называются мультигамильтоновыми. § 5. Вигамилътоновы системы

43

1. Невырожденные бигамильтоновы системы. Предположим, что одна из структур (Jo) невырождена. Тогда пучок A{-, -}о + /t{-, -}i также называется невырожденным. Для такого пучка определен оператор рекурсии

R = JiJ0-1, (5.3)

задающий тензорное поле типа (5.1) (см. §2).

Предложение 3. Пусть Jq и Ji — пуассоновы структуры, причем Jq невырождена. Пусть R = JiJq1 — оператор рекурсии. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) пуассоновы структуры J0 и Ji согласованы;

2) 2-форма Jq1R замкнута;

3) 2-форма Jq1 Rk замкнута дли любого к Є N;

Если Jq и Ji согласованы, то бивекторное поле вида Ii1 .Jq является пуассоновой структурой для любого k Є N, причем все такие структуры согласованы попарно между собой, а также с Jq и Ji.

Замечание 1. В описанной выше ситуации говорят, что пуассоновы структуры вида EkJi задают иерархию. Следует, впрочем, заметить, что все они получаются из исходных структур jo и ji при помощи стандартных тензорных операций и поэтому в естественном смысле не являются независимыми.

Доказательство.

Покажем, что (1) -5- (3) -5- (2) -5- (1).

(1) —ї (3). Поскольку структуры Jq и ji согласованы, то для любого А Є M линейная комбинация J0-AJi является пуассоновой структурой. Это эквивалентно (при малых А) замкнутости 2-формы (Jo + AJi)-1. Рассмотрим разложение этой формы в ряд по А:

(J0 - XJi)'1 = Ju"1 + AJ-1R + A2J-1R2 + ... + AkJ-1Rk + ...

Поскольку внешний дифференциал от этой формы тождественно равен нулю при всех А, то каждое слагаемое является замкнутой формой. что и требуется.

Условие (2) является частным случаем условия (3). Покажем наконец, что из (2) следует (1). Рассмотрим линейную комбинацию 2-форм вида Jq 1 - A J-1R. По предположению она замкнута и невырождена при малых А. Поэтому (обратный) бивектор вида 44

Глава 1

(J0 1 — AJ0 1R) 1 является пуассоновой структурой. Снова рассмотрим разложение в ряд по А

(J01 - XJ01R)'1 = J0 + XJ1 + X2RJ1 + ... + XkRk-1J1 + ...

и приравняем к нулю члены при степенях А в тождестве Якоби для этой пуассоновой структуры. Обращение в нуль члена при А в первой степени эквивалентно согласованности J0 и J1.

Проверим второе утверждение. Рассмотрим бивекторы вида RkJ0. Тот факт, что все они являются пуассоновыми структурами, согласованными между собой и с исходными структурами J0 и J1, эквивалентен двум соотношениям

[Jo,-RftJo] = 0 и (IiJjJoi-RftJoII = 0 для любых k,j = 0,1,2,...,

здесь [•,•] — скобка Схоутена (§2).

Эти соотношения легко вытекают из следующего рассуждения. В силу условия (3) дифференциальные формы вида J01 — XJ01R1 являются замкнутыми при всех А и I. Переписывая условие замкнутости как тождество Якоби для (обратного) бивектора

(J01 - XJ01R1)'1 = J0 + XR1-1J1 + ... + XkRkl-1J1... , и приравнивая к нулю члены при разных степенях А в соотношении [J0 + XR1-1J1 + ... ,J0 + XR1-1J1 + ...] = О,

мы легко получаем все требуемые соотношения по индукции. ¦

Согласованность пуассоновых структур J0, J1 эквивалентно также обращению в нуль тензора Ньюхауза (Nijenhuis) [296], который выражается лишь через компоненты оператора рекурсии

1^RjI ydxm j Ox"' 1 + Ihr1 т дх-і тJ '

Следующий результат был получен Магри (Magri) и Льенаром (Lenard). § 5. Вигамилътоновы системы

45

Предложение 4 ([282]). Пусть на односвязном многообразии M задана бигамильтонова система. Тогда существует иерархия взаимно коммутирующих функций Hq,Hi,..., которые находятся в инволюции относительно обеих скобок. Они порождают коммутирующие друг с другом векторные поля Vi, удовлетворяющие рекурсивным соотношениям (Льенара)

V^j=JiidHj,-), (5.4)

где Jj = R1 Jo — высшие пуассоновы структуры.

Таким образом, бигамильтонова система интегрируема по Лиувил-лю (см. §3), если система функций Hq, Hi,... в указанной иерархии функционально независима и составляет полный набор. Это требование эквивалентно условию простоты спектра оператора рекурсии (см. также [210, 236]). Очевидно, что собственные числа оператора рекурсии являются интегралами движения или константами. В зависимости от числа констант в спектре возможны различные варианты интегрируемости (разделение переменных и пр.). Высшие пуассоновы структуры порождают мультигамильтопово представление (5.2). Более формально этот вопрос рассмотрен в [23].
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed