Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
</.*> = E (ъ&Ап - шМ + (6'8)
г sij 58
Глава 1
Нетрудно проверить, что эта скобка удовлетворяет всем необходимым условиям §1. Из соотношения (6.8) легко получить структурную матрицу ,P3:
[MhMj] =J2ctM)Ms,
(6.9)
{<fc,<fc} = 0, [QhMj] = vf (d).
Таким образом, компоненты J1'', в общем случае, являются нелинейными функциями (хотя и линейны по квазиимпульсам Mi). Наиболее содержательными в динамике являются примеры, когда структурный тензор cfj не зависит от координат. Обсудим наиболее типичные ситуации.
3. Уравнения Пуанкаре—Четаева на группе Ли. Пусть конфигурационное пространство системы — группа Ли, тогда удобно в качестве базиса векторных полей vs (6.2) выбирать левоинвариантные векторные поля из ее алгебры Ли. При этом тензор с*- не зависит от координат и определяется структурными константами алгебры Ли. Скобка (6.8) при этом определяет так называемую каноническую структуру на кокасательном расслоении с базой — группой Ли.
Если гамильтониан H не зависит от <fo, (Vi{H) = 0), то уравнения для Mi,... , Mk замыкаются. Так могут быть получены уравнения Эйлера движения твердого тела по инерции (константы с®7- определяются алгеброй so(3)). Для произвольной алгебры со структурными константами c'j такого рода уравнения с квадратичным гамильтонианом называются уравнениями Эйлера—Пуанкаре.
Если гамильтониан H зависит от координат, по удастся выбрать избыточные координаты так, что все компоненты левоинвариантных полей t>*(q) линейны по q, то скобка (6.9) становится обычной скобкой Ли—Пуассона, а все связи будут ее функциями Казимира или инвариантными соотношениями. Этого можно добиться, если воспользоваться матричной реализацией группы Ли, а в качестве избыточных кооорди-
нат выбрать компоненты ее матриц. Полученная в этом случае структу-
2 2
ра Ли—Пуассона соответствует полупрямой сумме g®sR" , где R™ — пространство матриц п хп, g— алгебра Ли данной группы, и называется естественной канонической структурой кокасателъного расслоения к группе Ли. Таким способом могут быть получены, например, уравнения движения твердого тела в направляющих косинусах и моментах (см. § 1, гл. 2). § 6. Уравнения Пуанкаре— Четаева
59
Функции Cti- также являются постоянными, если конфигурационное пространство является базой расслоения некоторой группы Ли (в частности является римановым симметрическим пространством). При этом необходимо в качестве базиса квазискоростей брать левоинвари-антные векторные поля алгебры Ли данной группы, а в качестве обобщенных координат — координаты па базе (в общем случае избыточные).
Одним из примеров подобной ситуации могут служить уравнения Эйлера—Пуассона для твердого тела в осесимметричном потенциале. В данном случае уравнения записываются на сфере Пуассона, которая является базой расслоения SO(S) со слоем SO(2).
Аналогичным образом могут быть записаны уравнения движения точки по »,-мерной сфере Sn ~ SO(n+l) / SO(n), которая является базой расслоения группы SO(n + 1) со слоем SO(n) (подгруппа оставляющая на месте произвольную точку сферы).
Пример 8. Рассмотрим двумерную сферу S2 = {(7,7) = -R2} (являющуюся базой расслоения группы SO(S) на окружности S1 Ri SO(2)), по которой движется материальная точка в некотором силовом поле с потенциалом U(l^f).
Уравнения Пуанкаре на группе 50(3) в направляющих косинусах (являющихся избыточными координатами па 50(3), см. §1 гл. 2) имеют вид
При этом лагранжиан частицы па поверхности сферы (7,7) = R2 в поле некоторых потенциальных сил может быть представлен как функция угловой скорости и одного из единичных векторов, например, 7
А dt
(6.10)
a = а X OJ, ? = ? X ш, 7 = 7X0;.
L = - U(-у),
а угловая скорость частицы определяется уравнением
ш = 7 X 7.
(6.11)
Как следует из (6.10) уравнения для у,и> отделяются (они описывают эволюцию системы на базе), а уравнения для а, ? не имеют для частицы 60
Глава 1
смысла (они описывают эволюцию системы на слое) и могут быть в данном случае опущены.
Переходя к гамильтонову формализму получаем редуцированную систему на алгебре е(3)
М = Мх?+тх Щ,
OM ^7 (6.12)
T = TX^
7 7 дм
с функцией Гамильтона
H = ІМ2 +U {-у).
В силу соотношения (6.11) необходимо рассматривать систему (6.12) на орбите, удовлетворяющей условию (М, у) = 0, (7,7) = R2, физический смысл которого заключается в отсутствии проекции угловой скорости на радиус-вектор положения частицы.
Уравнения Эйлера—Пуассона могут быть получены таким же способом, однако для твердого тела постоянная интеграла площадей (М, 7) = с не обязательно равна нулю (роль двумерной сферы при этом выполняет сфера Пуассона).
4. Инвариантная мера. Условия существования для уравнений Эйлера—Пуанкаре инвариантной меры обсуждаются в [84]. Оказывается, что эти уравнения имеют интегральный инвариант в том и только в том случае, когда группа G унимодулярпа (то есть = 0 для
структурных констант алгебры JIh группы к
Рассмотрим частную постановку вопроса о существовании инвариантной меры для общих уравнений Пуанкаре—Четаева (6.6), (6.7), когда плотность интегрального инварианта / не зависит от импуль-«1в f = f( q).
