Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 2. Этот пример иллюстрирует также различие в аналитическом и алгебраическом аспектах задач, связанных с бигамильтоновос-тью. В аналитическом смысле вблизи невырожденного инвариантного тора класс допустимых гамильтонианов имеет функциональную мощность, а с алгебраической точки зрения интересна бигамильтоновость, определяемая структурным тензором, имеющим подходящую (например, полиномиальную) структуру. Гамильтонианы, полученные из формулы (5.12), могут глобально не продолжаться на все фазовое пространство.
Пример 3. Приведем вторую пуассонову структуру для интегрируемого волчка Лагранжа в динамике твердого тела. Как уже было отмечено в §1 гл. 1, уравнения Эйлера Пуассона представляют гамильтонову систему со скобкой Пуассона, определяемой алгеброй е(3). Гамильтониан волчка Лагранжа может быть представлен в виде
H =\ [Ml + M22 + аМІ) + 7з, a = const. Вторая согласованная структура, имеет вид:
Ыъ) = -сам, [M1,M2) = 1, (Mis7i) = O. (5.13)
Функции Мз и (7,7) являются аннуляторами скобки (5.13). Пуассонова структура представляет собой прямую сумму алгебр вращения .s'o(3), идеала Мз и двумерной канонической алгебры Н(2):
^(З)®«1 ®Я(2). (5.14)
Гамильтонов поток в этом случае генерируется гамильтонианом
H0 = (а- 1)М3 Q (M12 + M22) + 73) + (Mlll + M2l2 + M3l3). (5.15)
Запись уравнений движения волчка Лагранжа на алгебре (5.13) позволяет определить новую систему канонических переменных. Ими будут являться координаты М1,М2,Ь,1, где 71 = \/1 — L2 cos І, І2 = = Vl — L2 sin/,73 = L. 52
Глава 1
Разобранный пример позволяет прояснить природу бигамильто-новости в гамильтоновых системах. Бигамильтоновость интегрируемой системы оказывается связанной с возможносью различных, но ее гамильтоновых возмущений. Так, волчок Лаграпжа кроме осесим-метричного потенциального возмущения допускает возмущения вида H = Hq + Hi. где Hi = Hi (Mi, M2, Mz). Уравнения движения
будут описывать динамику осссимметричпого волчка в силовом поле, зависящем от моментов (угловых скоростей). Такого рода задачи рассматриваются обычно в динамике твердого тела под действием дис-сипативных гироскопических и управляющих внешних воздействий, которые обычно априори не гамильтоновы. В общем случае уравнения (5.16) не являются иптегируемыми, так как пропадает интеграл площадей. Интересно было бы найти ограничения на функцию Hi(M), при которых существует еще один дополнительный интеграл.
Пример 4. Примером, когда вторая пуассонова структура всегда согласована с первой, являются трехмерные системы. В работе [305] было сделано следующее несложное наблюдение:
Теорема 6. Трехмерная система дифференциальных уравнений х = /(х) является бигамильтоновой системой тогда и только тогда, когда существуют два (почти всюду) функционально независимых интеграла движения.
Доказательство.
Структурный тензор по двум независимым интегралам движения KmH строится следующим образом. В силу того, что векторное поле /(х) лежит на инвариантных многообразиях, определяемых интег-
Mi = Ц- = (а - VjM2Mi + 72 + Ц, (Мъ M2, M3),
M2 = -M- = H- a)MiM3 - T1 - §§-(Mi, M2, M3), M3 = О,
OH
7 = 7 x = 7 x AM, A = diag(l, 1, a)
dH]
(5.16) § 5. Вигамилътоновы системы
53
ралами Jf (х) = const и Н(х) = const, оно ортогонально векторам dK и dH. Поэтому
X = /(х) = m{x)dK XdH = = га(х)
0 K3 -К2\ H1
-K3 0 K1 H2
K2 -K1 0 ) \н3
0 -H3 H2 \ (K1
H3 0 -яИ K2
-H2 H1 0 / \к3
(5.17)
= m(x)
где т(х) — скалярный множитель, Ki = ^т, Hi =
дх'1 Ox1
Матрицы
задают два структурных тензора, как несложно проверить, согласованных. ¦
Смысл скалярного множителя т(х) состоит в том, что форма
—j— dx1 Л dx2 Л dx3 то(х)
задает инвариантную форму объема.
Отметим, что в виде (5.17) могут быть представлены трехмерные системы, возникающие в механике Намбу [295], которая, таким образом, в трехмерном случае сводится к гамильтоповой механике с вырожденной скобкой Пуассона.
Пример 5. Теорема 6 может быть распространена на n-мерный случай для систем, имеющих п — 1 независимых первых интегралов. Однако, такая ситуация является сильно вырожденной и редко встречается в приложениях (как и соответствующие п-мерпые системы Намбу, для которых до сих пор не найдено ни одного содержательного примера).
При рассмотрении семейств функциональных определителей в известном учебнике анализа Ж. Ш. Валле-Пуссеном было доказано следующее утверждение [41]. 54 Глава 1
Теорема 7 (Валле-Пуссен). Если система
Xi = г>,;(х). і = 1,... ,п (5.18)
с нулевой дивергенцией div v = 0 обладает п — 1 независимыми интегралами движения /i(х),... ,/,J-і(х). то она представима в виде определителей
= "^57-ї-(5.19)
OKX1-X2,-¦¦ ,xn) Поскольку любая система
x = w(x), (5.20)
обладающая теми же интегралами движения, что и (5.18) имеет одни и те же траектории, но возможно различные законы движения по ним, то векторные поля v(x) и w(x) совпадают с точностью до множителя V = pw. При этом функция р-1 является плотностью инвариантной меры системы (5.20).
