Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
Ясно, что все решения системы (4.1) удовлетворяют уравнениям (4.2). Для того, чтобы исключить тривиальные случаи (например, L = O), вводится понятие точного представления, когда все решения (4.2) удовлетворяют (4.1). Наиболее важным является случай, когда матрицы LhA принадлежат одной и той же конечномерной алгебре Ли в матричном представлении. Приведем один пример такой L-A пары.
Уравнения Гамильтона на коалгебре Ли д* (§1, гл. 1)
і = (ad;H)x, XG0* (4.3)
не всегда могут быть представлены в коммутационной форме, поскольку действие оператора а<1| не сводится, вообще говоря, к вычислению коммутатора. Однако, такое представление возможно, если предположить дополнительно, что на алгебре Ли g существует невырожденное, инвариантное относительно присоединенного представления скалярное произведение (•,•), задаваемое матрицей Ц^а/зЦ- В этом случае мы можем отождествить пространства g и д* с помощью соотношения
<У*,0 = (У,?), (4.4)
где (-, ¦) — операция спаривания элементов алгебры и коалгебры, ? Є 0, у* Є g* и элемент у Є 0 отождествляется с у*. Инвариантность скалярного произведения эквивалентна тождеству
([c,b],a) + (b,[c,a]) =0§ 4- Представление Лакса—Гейзенберга
37
и поэтому
{F, G}(x*) = <х*,[dKdG]) = (x,[dF,dG]) = (dG, [х, <1F]), (4.5)
где произведено отождествление X и х* с помощью соотношения (4.4). Уравнения (4.3) теперь можно переписать в коммутационной форме
X = addfl-x = [А,х], А = dH, х Є (g*)* = g. (4.6)
Невырожденная инвариантная квадратичная форма имеется, например, в случае полупростых алгебр Ли, где имеется метрика Киллинга Картапа, определяемая через структурные константы по формуле
Sij = ~ S cikcjV к,і
Из представления (4.2) вытекает, что оператор L(x(?)) в процессе эволюции подвергается преобразованию подобия
L(t)=T(t)L(0)T"1(t), А = T(i)T-1(?), (4.7)
где T можно считать элементом группы Ли порождаемой алгеброй д, так что
Ці) = AdT(t) L(O),
где А (і) — левый сдвиг касательного вектора Т(?) в алгебру. Таким образом, собственные числа оператора Ці) не зависят от t и, по выражению Мозера, испытывают «изоспектральную деформацию», а инварианты алгебры g
1к(х) = Tr(LfcOc)), к Є N (4.8)
являются первыми интегралами системы (4.1).
В подходе Лакса для интегрирования системы (4.1) ищется представление в виде L — А-пары, затем строится достаточное количество независимых интегралов и показывается, что они находятся в инволюции.
Замечание 1. Для полупростой алгебры Ли справедливо также несколько иное, но эквивалентное представление Лакса—Гейзенберга [82, 91]. Выберем в алгебре g ортонормированный базис Киллига, в этом случае матрицы L и А для уравнений (4.3), которые в координатной форме имеют вид
Eu дН
с-цжк-г.
. . J дх3 '
»J38
Глава 1
представляются в виде
г _ V^ а л" — " дН
— / J cUsxCi, Ah — / „ ска Q^ ¦
О (X П
2. Представление со спектральным параметром. Если в описанной конструкции ограничиваться только конечномерными алгебрами 0, то для многих важных случаев динамических систем выражения (4.8) не дают полного набора интегралов. Приведенное выше L-A представление для полупростых алгебр Ли не дает, например, выражения для интеграла энергии. Кроме того, даже в случае, если представление Лакса Гейзенберга и дает полный набор интегралов (как в многочастичных системах (см. § 2 гл. 5)), оно не достаточно для явного интегрирования системы.
Поэтому конечномерную систему (4.1) обычно представляют в форме Лакса с помощью элементов бесконечномерных алгебр Ли, как правило, с помощью введения в алгебру g дополнительного параметра.
Простейшей бесконечномерной алгеброй является алгебра дг полиномов Лорана по А с коэффициентами в некоторой полупростой алгебре 0
0' = jic(A): х(Л) = }, gi eg. (4.9)
г&
Эта алгебра называется алгеброй петель в силу того, что в отличие от конечномерного случая, ее диаграмма Дыпкипа содержит замкнутые циклы.
Коммутатор в д' полностью определяется соотношением
[gi\\gj\j] = [gi,gj] xi+j.
При этом алгебра 0 представляется в виде прямой суммы подпространств
B1 = © Si- (4-Ю)
гб^
Подобные алгебры называются Z-градуированными. Существуют также различные модификации этой конструкции, приводящие к другим бесконечномерным алгебрам.§ 4- Представление Лакса—Гейзенберга
39
Полагая матрицы LnA элементами из gz, получим представление Лакса—Гейзенберга, содержащее произвольный (спектральный) параметр
L(A) = [L(A)5A(A)]. (4.11)
При этом инварианты (4.8) также являются интегралами движения, но теперь они зависят от А. Разлагая их по степеням А, можно получить расширенный набор интегралов I^m
к
Ik (х, A) = E кш (х)А™, I = к - го, (4.12)
то=0
которого уже, как правило, достаточно для интегрируемости.
Для представления уравнений движения в форме Лакса—Гейзенберга со спектральным параметром иногда эффективен метод г-мат-рицы, который состоит в том, что матрица A(A) как вектор в д', получается в результате действия некоторого R-оператора (R: дг —> дг) на вектор