Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
Из уравнений Лиувилля (§ 2) можно получить условия существования инвариантной меры в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных (в общем случае явно неразрешимой)
(6.13)
Если выполнено соотношение ^ csrs (q) = 0 (которое заведомо спра-
s
всдливо, если конфигурационное пространство является упимодуляр-ной группой), то система (6.13) несколько упрощается, в частности, |j 7. Показатели Ковалевской, интегрируемость и гамильтоновость 61
уравнения (6.6), (6.7) сохраняют стандартную меру (/(q) = 1), если все векторные поля Vs (6.2) бездивергентны. Если в качестве координат q выбрать компоненты матриц для матричной реализации группы Ли (естественная каноническая структура кокасательного расслоения), то условие унимодулярности является необходимым и достаточным для сохранения стандартной меры.
Нетрудно показать, что уравнения (6.6), (6.7) также сохраняют инвариантную меру с плотностью не зависящей от квазиимпульсов, если число координат qi равно размерности группы, а векторные поля V1,... ,Vk независимы и образуют базис (при этом к = п и равно числу степеней свободы системы). В этом случае плотность f(q) задается
BL
якобианом перехода от канонических переменных q,,pi = тт-г к пере-
vQi
менным qt,Mi:
J = det
dpi
BMi
Так как
Pi =
OL _ dL
диіі
Oqi dujj Oqi
= Mi
Ouj1 д(Ц
получаем плотность инвариантной меры в виде
/(q) =J = AetV-1 =
det, V'
где V =
<><Н
dujr
Эта инвариантная мера является лиувиллевой (§2).
Обсуждение обобщений уравнений Пуанкаре—Четаева на неголо-номные системы, а также их связи с другими общими формами уравнений динамики содержится в [143].
§ 7. Показатели Ковалевской, интегрируемость и гамильтоновость
1. Квазиоднородные системы. Показатели Ковалевской. Система п дифференциальных уравнений
Xі = Vi(х1,... ,хп), i = l,...,n, (7.1) 62
Глава 1
называется квазиоднородной с показателями квазиоднородности gl,-- - ,gn, если
Vі(UgiT1,... ,ag"xn) =Ug^1ViIyX1,... ,хп) (7.2)
при всех значениях х и а > 0. Таким образом, уравнения (7.1) инвариантны при подстановке хг н->- Otgi хг, t н-»-1/а [338].
Замечание 1. Более общее определение квазиоднородности степени т состоит в том, чтобы система (7.1) оставалась инвариантной после преобразования Xt і—аКіхг, t —>¦ t/am_1 [100]. Все дальнейшие результаты остаются справедливыми и для этого случая.
Важным примером уравнений (7.1), (7.2) служит система с однородными квадратичными правыми частями — в этом случае gl = ... = gn = 1. Квазиоднородный вид имеют уравнения движения многих важных задач динамики (уравнения Эйлера—Пуассона, Кирхгофа, уравнения Эйлера—Пуанкаре на алгебрах Ли, цепочки Тоды и пр.)
Дифференцируя (7.2) по а и полагая а = 1, получим формулу Эйлера для квазиоднородных функций:
п
E^kK = (gi + l)v\ г = 1,...,п. (7.3)
ti дх
Уравнения (7.1) имеют частные решения
Xi = Cit-gi, і = 1,...,71, (7.4)
где комплексные постоянные Ci,... ,Cn должны удовлетворять алгебраической системе уравнений
v'iCu... ,Cn) = -giCi, і = I,...,п. (7.5)
Запишем уравнения в вариациях для частного решения (7.5) в виде
п
у4 = ? TT^r*1' ...,Cnt-g")yk. (7.6)
к=і йх
Линейная система (7.6) имеет частные решения вида у1 , уи =ipnt('~s", § 7. Показатели Ковалевской, интегрируемость и гамилътоновостъ 63
где р — собственное значение, a tp — собственный вектор матрицы К = II-KrJlI, Kj = (OvtZdxi(G) + giSj), Sj — символ Кронекера. Матрица К называется матрицей Ковалевской, а ее собственные значения — показателями Ковалевской (см. [338]). Один из показателей Ковалевской всегда равен —1 [338].
Если общее решение системы (7.1) представляется однозначными (мсроморфпыми) функциями комплексного времени, то показатели Ковалевской, за исключением —1 являются целыми (соответственно, целыми неотрицательными) числами.
В работе [87] указаны соотношения между показателями Ковалевской, которые появляются из-за наличия у системы (7.1) инвариантного тензорного поля. Напомним, что тензорное поле T типа (р, q) называется квазиоднородным степени то с показателями квазиоднородности gl,-- - :gn-, если
Ty-x^iasiXi.....as"xn) =
.71---.79 v '
= am~8i
і -¦¦¦-Sii+Sil+--+SiprTil "Уіх1 Xn)
Это тензорное поле будет инвариантным для системы (7.1), если его производная Ли вдоль поля v равна нулю (см. §2).
2. Уравнения Гамильтона. Рассмотрим квазиоднородные уравнения вида:
где J = ||J,fcIl — постоянный кососиммстричпый тензор типа (2,0), а H — квазиоднородная функция степени то + 1 :
H (CtglX1,... , CtgnXn) =ат+1Н(х1,... ,хп). (7.8)
Проверяя выполнение условия (7.2) и используя (7.8), получим
У^ Jikam+1~gk = agi+1 Vt Jik
ІҐі дхк ІҐі дхк
Положим Г = diag(gi,... .g„). Дифференцируя последнее тождество по а и полагая а = 1, приходим к следующим, записанным в матричном 64
Глава 2
виде условиям, которым должны удовлетворять показатели квазиоднородности:
Jr + TJ = mJ. (7.9)
Заметим, что уравнения (7.7) представляют собой уравнения Гамильтона с гамильтонианом H в (возможно) неканонических переменных. Если J — симплектическая матрица, то условия (7.9) имеют простой вид:
