Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
4. Примеры. Рассмотрим один вариант системы типа Лотки— Вольтерра [49, 304], который можно записать в виде системы
где ai,?i являются константами. Уравнения (7.11) являются обобщением интегрируемой периодической системы Вольтерра, для которой (Xi = ?i = const [18].
Непосредственное вычисление показателей Ковалевской для системы (7.11) показывает, что они удовлетворяют условиям спаренности Pi + Pj = что (по определению степени квазиоднородности) соответствует наличию квадратичного тензорного инварианта T1K Однако выполнения условия теоремы недостаточно для существования пуассо-
п п
новой структуры. При выполнении соотношения Iltti = П ?i уравне-
ния (7.11) имеют дополнительный линейный интеграл F = (l,x), І Є Mre, а при условии щ = ?i система (7.11) действительно является гамиль-тоновой с квадратичной скобкой Пуассона J^ = C^XiXj и линейным гамильтонианом. Такого рода системы более подробно рассмотрены в главе 5.
В качестве другого примера рассмотрим обобщенную задачу Суслова, описывающую движение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки при наличии неголономной связи = 0 [79]. Уравнения движения системы при условии, что центр тяжести находится па главной оси, вдоль которой и>з = 0 имеют вид:
Xi = xi(ai+1xi+i - ?i-iXi-i), і = I,... ,п.
Xq — 1 — ^l*
(7.11)
і=1
і=1
JlWl = ?72, J2W2 = — ?71. 7і = -W273, 72 = Ш173, 7з = 71^2 - 72^1,
(7.12)
где Ji, J2 компоненты тензора инерции, є расстояние точки подвеса до центра масс. Вычисление показателей Ковалевской приводит к 68
Глава 1
следующей серии значений
1. pl=-i, /92=2, P3 = 4, р4,5 = ± у/1 + Sh/h),
2. Pi=-I, P2= 2, P3 = 4, р4,5 = |(3± ^/1 +8/1//2).
Аналогичные по структуре, но более сложные выражения для показателей Ковалевской можно получить в общем случае, когда положение центра тяжести и неинтегрируемая связь в теле никак не связаны [125]. Эти показатели Ковалевской также не удовлетворяют условиям спаренности и, по-видимому, поэтому система (7.12) не может быть представлена в гамильтоновой форме. (При Ii = I2 система является интегрируемой и аналогична случаю Лагранжа). Однако, этому не противоречит возможность представить уравнения (7.12) в гамильтоновом виде с помощью специальной замены, основанной на исключении 73 из интеграла энергии
\{hu2i + I2U22) + ЄІ2 = Jh (7.13)
после которой уравнения (7.12) можно переписать в форме уравнений Лаграпжа [79]
iL — ^L LT-V
d.t дйі-і диіі' '
где
T = і (I21CO2 +I2UJ2), V=\(h-\(1іш2 +І2ш2))2. (7.14)
Эти уравнения при Ii ф I2 пс являются интегрируемыми [66].
§ 8. Редукции пуассоновых структур
1. Понижение порядка — алгебраический аспект. Понижение порядка в гамильтоновых системах, обладающих симметриями восходит к классическим работам Эйлера и Якоби. Симметрии в гамильтоновых системах, как правило, связаны с существованием первых интегралов. Их наличие позволяет редуцировать систему, то есть понизить число степеней свободы. § 8. Редукции пуассоновых структур
69
Наиболее изучена редукция Рауса, связанная с существованием циклических интегралов и соответствующих им циклических координат. Глобальное проведение редукции Рауса для канонической гамильтоновой системы, как правило, приводит к неоднозначным гамильтонианам и неточной форме гироскопических сил [129]. По предложению Сурьо, для перехода к однозначному гамильтониану гироскопические силы вносят в скобку Пуассона, которая при этом теряет каноническую форму (см. § 5 гл. 2).
Такое включение гироскопических сил в скобку, вызванное соображениями удобства, имеет более глубокое значение при проведении процедуры редукции на алгебраическом уровне (в дальнейшем под словом алгебраический мы будем понимать, как правило, полиномиальный или дробно-рациональный класс функций). Если исходная система представлена в алгебраической форме с алгебраическим гамильтонианом и структурным тензором, то при редукции разумно преобразовывать гамильтониан и структурный тензор одновременно, не теряя их алгебраической формы.
Напомним, что целью алгебраизации (например, представление уравнений движения со скобкой Ли Пуассона и полиномиальным гамильтонианом) первоначальной канонической системы является достижение их простоты, возможности геометрического (топологического) анализа и применимость для исследования условий интегрируемости в классе алгебраических функций.
Проведение процедуры редукции па алгебраическом уровне преследует те же цели по отношению к приведенной системе, что позволяет в некоторых случаях обнаружить неожиданные изоморфизмы между различными задачами динамики.
Если в каноническом случае обязательным условием редукции было уменьшение числа степеней свободы и порядка системы уравнений, то в алгебраическом случае мы должны добиться лишь падения ранга пуассоновой структуры. При этом полное число уравнений может даже возрасти, тем не менее при ограничении редуцированной системы па симлсктичсский лист число переменных (и уравнений) все равно упадет. Все известные канонические редукции (в частности понижение порядка по Раусу, редукция по моменту [3, 4, 152]) могут быть проведены в алгебраической форме с последующим ограничением на симплектический лист. 70
