Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
gk + gk+п/2 = т.
В работах [281, 87] показано, что в случае диагонализируемости матрицы Ковалевской, ее показатели удовлетворяют аналогичным соотношениям
Pk + Ph-Ynj 2 = mI причем среди них всегда будут числа —1 и т + 1.
Следующее предложение уточняет соответствующие результаты [281, 87] в общем случае педиагопализуемой матрицы К. Отмстим, что в недиагонализируемой ситуации не приходится говорить об однозначности или мероморфности общего решения.
Теорема 8 ([27]). Пусть для уравнений (7.7) J — невырожденная ко-сосимметричная матрица. Тогда показатели Ковалевской разбиваются на пары, удовлетворяющие соотношениям
Pk + pk+n/2 = ГП, к = 1,... , п/2,
причем строение жордановых клеток, соответствующих показателям Pit и (га — р*) одинаково.
Доказательство.
Представим матрицу Ковалевской в виде К = JB + Г, где
92Я;(С)
Ox1Oxk
симметричная матрица. Тогда все заключения теоремы 1 следуют из цепочки равносильных утверждений:
det ЦК — рЕ|| = 0 <=> det ЦК - рЕ\\Т = 0 <=> det ||(К - pE)^"1)) = 0 <=>
det IK-BJ + Г - pE)J-11) = 0 det ||J_1(JB + Г + (h - 1 - р)Е)|| = 0.
В последнем звене цепочки использован тот факт, что в (7.9) вместо J можно подставить J-1. ¦ § 7. Показатели Ковалевской, интегрируемость и гамилътоновостъ 65
Обобщим проведенные рассуждения на случай, когда матрица Jlk не обязательно является невырожденной и постоянной. Это соответствует рассмотрению квазиоднородных систем, допускающих пуассо-нову структуру более общего вида (структуры Ли—Пуассона, квадратичные структуры и пр.) Докажем предварительно основную теорему.
Теорема 9 ([27]). Предположим, что уравнения (7.1) допускают квазиоднородный степени т. тензорный инвариант T типа (2,0). Тогда натуральные числа от 1 до п можно сгруппировать в набор (ki,... , кп) так, что р\,... ,рп будут удовлетворять как минимум г = rankT(C) соотношениям:
Pi+ Pk = -т, i = l,... ,п.
Доказательство.
Используя выражение производной Ли для инвариантного тензорного поля, нетрудно показать (подробнее см. [87]), что тензоры T и К связаны следующими соотношениями:
-TnTii = KisTsj + TisKj,
которые запишем в матричном виде
-гаТ = KT + TKr,
где T =||Т«||,К =11^11.
Пусть матрица А составлена из вектор-столбцов е±, рыс являются жордаповыми векторами К:
KA = AK,,
где К» для определенности имеет следующий вид: па главной диагонали стоят показатели Ковалевской (pi,... , рп), а над главной диагональю могут стоять единицы. Для транспонированной матрицы Kr справедливо аналогичное соотношение
КГ(А-Т = (A-TKf.
Обозначим вектор-столбцы, составляющие матрицу (А-1)Г через /i,... , fn. Используя (7.10), получим
КТ(А_1)Г = -т,Т(А_1)г - ТКт(А"1)г = Т(А"1)г(-тЕ - (К*)г).
(7.10) ... ,еп, кото- 66
Глава 2
Матрица (—mE— (К*)т) также имеет жорданов вид, только теперь под главной диагональю могут стоять —1. Таким образом, жордановым векторам (ei,... , еп) при отображении А і—>• Т(А_1)Т соответствуют г = rankT(C) независимых векторов (T/i,... ,Tfn), которые также являются жордановыми векторами К с собственными значениями (-TTi-P1),... ,(-т- рп). U
Следствие. Пусть тензор T — ко со симметрический. Тогда среди натуральных чисел от 1 до п можно выделить два поднабора с несовпадающими числами (г'і,... ,it) и (fei,... , fc/), I = ^rankT(C), таких, что показатели Ковалевской удовлетворяют I соотношениям
Pis + Pks = —тп, s = 1,...,1.
Действительно, в случае кососимметричного T ненулевой вектор Tfi не мо?кет быть пропорционален е,. Это следует из-за того, что (ei,fj) = Sij, где (•,•) — стандартное скалярное произведение в Mre (AA-1 = Е), а из-за кососимметричности T следует, что (Т/г,/г) = 0.
Так как для общих гамильтоновых систем кососимметрический структурный тензор Jij является тензорным инвариантом уравнений движения (§2), то из следствия теоремы вытекает, что показатели Ковалевской являются спаренными и число пар равняется ^rankJ(C).
3. Инвариантная мера. Как правило, квазиоднородные уравнения динамики (уравнения Эйлера—Пуассона, Кирхгофа и др.), кроме вырожденной пуассоновой структуры (определяемой алгеброй е(3)), обладают инвариантной мерой. Ее существование накладывает дополнительное условие на показатели Ковалевской.
Действительно, предположим, что система (7.1) допускает квазиоднородный тензорный инвариант типа (п, 0)
О = 0(х)гЬд Л ... Л dxn, O(C) ф 0.
п
Тогда ^Pi = т, где га — квазиоднородная степень О. Если О — стансі та п
дартпая мера, то ^ р% = gf, в частности, для систем с одпородпы-І-1 і—1
ми квадратичными правыми частями сумма показателей Ковалевской равна размерности системы п. Этот результат следует из рассуждений работы [87]. § 7. Показатели Ковалевской, интегрируемость и гамилътоновостъ 67
Как отмечено в [91], в однородном случае (gi = 1) показатели Ковалевской связаны с мультипликаторами периодических решений и их спарсппость для гамильтоповых систем будет следовать из теоремы Пуанкаре—Ляпунова о возвратности корней характеристического многочлена уравнений в вариациях.
