Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
На многообразии M пуассонов пучок индуцирует семейство согласованных два-форм
Wi = dxT AKidx, Kiix) = J^ix), (5.5)
для которых условие согласованности эквивалентно условию замкнутости два-формы
dxT A [K^ix) + К2\х)]-Ч х.
В 1946 г. Р. Дебевер (R. Debever) [300]. применяя метод Картана, дал локальную классификацию пары симплектических 2-форм Wi и Ui2 на четырехмерном комплексном многообразии. Oii не использовал условие согласованности (которое в то время еще не было известно), но ввёл алгебраическое ограничение
Wi Auj2 = 0. (5.6)
Из этой классификации следует, что при условии (5.6) существуют несогласованные формы ишг, тем пе менее соответствующая им 46
Глава 1
бигамильтонова система является интегрируемой в квадратурах (система, интегрируемая в квадратурах может быть неинтегрируема по Лиувиллю). Следует, однако, отметить, что до сих пор неизвестно ни одного примера естественного происхождения, в которой для интегрируемой бигамильтоновой системы вторая пуассонова форма не была бы согласованной.
Замечание 2. Примеры несогласованных скобок, предложенные в работах [201, 202, 203] и основанные па исследовании системы в переменных типа действие угол, которые могут быть глобально не определены, не являются естественными. Это замечание относится также к обобщению интегрируемости по Лиувиллю, которое, кроме того, до работ [201, 202, 203] изучалось в [197, 79, 94].
2. Вырожденные бигамильтоновы системы. Если одна из скобок {-,-}о, {v}i пуассонова пучка является вырожденной (при этом вторая скобка, как правило, также вырождена), то доказательство интегрируемости также проводится с помощью модифицированной схемы Магри—Льенара.
Пусть gi(x),... ,gn(x) и Gi (х),... , Gm (х) — функции, являющиеся аннуляторами скобок Jo и Ji, то есть Jo(dg';,-) = Ji(dG;,-) = 0 (п ф т). Тогда каждый из аннуляторов gi определяет иерархию гамильтоновых векторных полей vii (х), V2i(x),... таких что
1. поле Vij является гамильтоновым относительно скобки {-,'!1 с гамильтонианом gi,
2. пусть Нц (х) — гамильтониан того же поля относительно скобки Jo- Тогда этот же гамильтониан относительно скобки Ji порождает гамильтоново поле V2;.
Таким образом, возникает итерационная процедура
Vh = Jiidgi,-) = JoidHu,-),
v2; = Ji(dHu, ¦) = J0(dH2i, ¦),
v3; = Ji(dH2i, •) = J(](dH3i, •).
Каждый из гамильтонианов і/і;(х),і/2;(х),... выражается через аннуляторы скобки Пуассона пучка AJo + ?Ji для некоторого отношения А///. Аппуляторы любых двух скобок пучка находятся в инволюции § 5. Вигамилътоновы системы
47
относительно всех скобок того же пучка (при условии максимальности ранга).
Ответ на вопрос, образуют ли всевозможные аннуляторы скобок пучка полный набор интегралов, достаточный для интегрируемости по теореме Лиувилля, дает теорема о полноте, доказанная А. В. Болсиновым [19].
Теорема 4. Для полноты множества интегралов необходимо и достаточно выполнения следующих условий:
1. размерность регулярных силтлектических листов скобок Пуассона пучка AJo + //Ji одинакова для любого А/? Є С,
2. пусть U\/? — объединение сингулярных симплектических листов скобки AJo + //Ji- Тогда CodimLra/,,, > 1 для любого А/// Є С.
Следует отметить, что механизмы интегрируемости вырожденных и невырожденных бигамильтоновых систем существенно отличаются друг от друга. Так, например для вырожденных систем не определен оператор рекурсии и не существует высших пуассоновых структур (кроме случая, когда симплектические листы обеих структур совпадают). В некоторых случаях пуассонову иерархию удается построить, используя так называемые мастер-симметрии.
В вырожденном случае пара согласованных скобок всегда порождает семейство бигамильтоновых систем. В качестве гамильтонианов (5.1) принимаются функции Казимира этого пучка. Поэтому рассмотрим такие пары скобок более подробно.
3. Лиевы пучки. Один из примеров возникновения согласованных (в общем случае вырожденных) скобок Пуассона связан с рассмотрением лиевых пучков. Как будет показано в § 9 гл. 2 эти пучки порождают бигамильтоновы системы, являющиеся многомерным обобщением интегрируемых задач динамики твердого тела.
Определение 5. Пусть L — конечномерное линейное пространство. Лиевым пучком называется линейное семейство лиевых структур ([•, -]ає/) на пространстве L. Линейность означает, что множество параметров I является линейным пространством и
ь -]аа+дВ = A[-, -]а + ?[-, -]в-
Связь лиевых пучков с согласованными скобками Пуассона очень проста. Если на пространстве L задан лиев пучок, то на двойственном пространстве L* возникает семейство согласованных скобок Ли— 48
Глава 1
Пуассона ({•,где {f,g}A(x) = (x.,[df,dg]A)- Интересный с точки зрения приложений лиев пучок можно задать на пространстве косо-симметрических матриц. Пусть L — пространство кососимметричес-ких матриц, I — пространство симметрических матриц. Положим
[X, Y]a = XAY - YAX, (5.7)
где X,Y Є L, А Є I. Этот пучок является одним из примеров так называемых замкнутых неприводимых лиевых пучков, классификация которых проведена И. JI. Кантором и Д. Б. Переищем [70].
