Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Борисов А. -> "Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике" -> 11

Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.

Борисов А. , Мамаев И.С. Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике — Удмуртский университет, 1999. — 470 c.
Скачать (прямая ссылка): puassonistrukturiialgebri1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 144 >> Следующая


Замечание 3. Оказывается, что в виде (1.18) могут быть также записаны гидродинамические уравнения Эйлера идеальной (несжимаемой и невязкой) жидкости. В этом случае в качестве фазового пространства выступает группа диффеоморфизмов области течения, сохраняющих элемент объема [1, 3].

Замечание 4. В гидродинамике канонические координаты на симплектичес-ком листе называются переменными Клебша [287]. Если их введение локально возможно по теореме Дарбу, то глобальное определение сделать не так просто, а иногда и невозможно. Это обусловлено топологией симплектического листа.

Замечание 5. Для структуры Ли—Пуассона, и для соответствующей ей алгебры Ли может быть найдено картановское разложение [8, 316]. Анализ 28

Глава 1

структуры этого разложения позволяет более просто определить канонические координаты на симплектических листах. Например, укажем алгебру е(3) = so(3) ©3 R3 уравнений Эйлера—Пуассона, где выделение подалгебры ,so(3) позволяет просто ввести канонические переменные Апдуайе— Депри [5, 28, 77], имеющие важное значение в динамике твердого тела.

8. Квадратичные скобки Пуассона. В некоторых задачах с целыо упрощения и алгебраизации гамильтоновой системы удобно рассматривать произвольные алгебраические (дробно-рациональные) скобки Пуассона (см. §2 гл. 4, §§3,4 гл. 5). Рассмотрим подробнее однородные квадратичные скобки. Отметим, что под действием однородных преобразований квадратичные скобки сохраняют степень однородности. Действительно, степень однородности а преобразуется по закону а' = 2 + а где s — степень преобразования X —> у: у і (Xx) = X sy(x).

Классификация трехмерных линейных скобок сводится к хорошо известной классификации Бьянки соответсвующих алгебр Ли [16, 61]. Структура трехмерных квадратичных скобок Пуассона существенно сложнее и была изучена Ж. П. Дюфуром в [229]. Оказалось, что все эти скобки изоморфны четырнадцати различным типам, содержащим, в свою очередь, произвольные параметры (a,b,c,d)

!• Iх, У} = СХУ, {У¦, А = aVz, iz, х} = bzx-,

2- {ж, у} = Ъ(х2 + у2), {у, z} = z(2bx - ay), {z, x} = z(ax + 2by)\

3. {x, y\ = x2, {y, z\ = —azy + 2zx, {z,x\ = axz\

4. {x, y} = axy. {y, z} = X2 + cyz, {z, xj = azx:

5. {x, y} = ax2, {y, z} = yz + (1 + 2a)xz, {z, x] = —xz (а ф —1/2);

6. {x, y} = —(l/2)x2, {y, zj = byz, {z, x} = —bxz:

7. {x,y} = a(x2 + y2), {y,z} = byz + (2a + c)xz,

{z,x} = (2a, + c)yz — bxz:

8. {x, y} = ((a + b)/2)(x2 + у2) ± z2, {y, zj = axz, {z, x} = ayz;

9. {x, y] = —(1/3)ж2, {y,z} = ax2 - (1/3)*/2 + (1/3)xz,

{z, x} = (2b + 1 )xy\

10. {x, y} = -(2b + l)x2, {y, z} = by2 -(1 + 4b)xz, {z, x} = (2b + 1 )xy;

11. (ж, у} = cx2 + dz2, {у, z} = (2с + 1 )xz, {z, x} = 0; § 1. Определение и приліерьі скобок Пуассона. Скобки JIu—Пуассона 29

12. [х, у} = сх2 + dz2, {у, z} = X2 + (2с + 1 )xz, {z, х} = 0;

13. {X, у} = сх2 + dz2 + 2 xz, [у, zj = 0, {z, х) = ах2 + z2 + (2с + 1 )xz:

14. {х, у} = д~РIdz, {y,z} = дР/дх, {z,x} = дР/ду,

где P — однородный полином степени 3.

Содержательный пример существования квадратичных коммутационных соотношений, возникший из анализа уравнений Янга— Бакстера, был указан Е. К. Скляпиным. Oii рассмотрел алгебру скобок Пуассона, порожденную следующими соотношениями между образующими So, Sa, S?, Sy [148]:

^{Sa,So} = 2J07S0S-n ^{Sa,S0} = -2SoS7, (1.22)

где

Ja? = Ja — j?-, Ja,J/3,J7eK. (здесь и далее обозначает циклические перестановки индексов а, ?, 7.)

Скобка, задаваемая соотношениями (1.22), является вырожденной. Она обладает функциями Казимира

F1 =S2a+ S20 + S2, F2 = S2 + JaS2a + J0S20 + J1S2. (1.23)

Более сложный пример квадратичной алгебры скобок Пуассона был указан в работе [40]. При этом между образующими А, В, С, D имеются следующие коммутационные соотношения

{А,В} = -АВ, {В, С} = 0, {А,С} = -АС,

{B,D} = -BD, {A, D} = -2ВС, {C,D} = -CD. { !

Скобка (1.24) также является вырожденной. Ее центральными функциями являются

F1= AD-ВС, F2=BjC. (1.25)

Квадратичные скобки Пуассона возникают также в многомерных интегрируемых цепочках Тоды и Вольтерра и будут рассмотрены в §§ 2,4 гл. 5.

В следующих разделах книги мы представим уравнения динамики твердого тела, вихревой динамики, динамики материальной точки в искривленных пространствах и многочастичные системы в виде гамильтоновых уравнений с линейной или более сложной пуассоновой структурой, а также укажем пару пуассоновых структур для некоторых классических интегрируемых задач. зо

Глава 1

§ 2. Тензорные инварианты динамических систем

Рассмотрим систему п дифференциальных уравнений

Xі = vi(x1,... ,хп). і = I,...,п. (2.1)

Тензорное поле Т(х) называется инвариантным цпя системы (2.1), если его производная Ли вдоль поля v равна нулю CvT = 0. Явное выражение для производной Ли тензорного поля типа (р, q) следующее:

р гтіІі"Лр _ g В гт,Іі,,.Ір rjii\<"ip Bv

Lv Л-.-Із 3i-jq + кJ2--J, QxЗІ + ••¦

Ovk J,li2...ip dv%1 _ jii-.-ip-il d'tf

(2.2)

jl...j,j-lk QXjq 31---3(1 QxI "' h---3q dX1'

Наиболее употребительными в динамике являются скалярные инварианты, называемые первыми интегралами, инвариантные векторные поля поля симметрии и (они коммутируют с полем v: CvU= [u, v] =0.) В гамильтоновой механике инвариантные внешние формы (типа и2 = dp A dq) порождают интегральные инварианты системы канонических уравнений.
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed