Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
Afc = dlk(x, А) Є д',
являющийся аннулятором алгебры д, то есть [А*.,д] = 0 для любого g Ё 01. Отметим далее, что зафиксировав форму матрицы L(A) и рассматривая различные инварианты /^(х, А) указанным способом, можно получить целую иерархию гамильтоновых систем, интегральные траектории которых являются различными обмотками одних и тех же инвариантных торов, определяемых набором интегралов (4.12). Различные способы задания R-оператора па алгебрах дг содержатся в обзоре [132]. Наличие спектрального параметра в представлении Лакса— Гейзенберга позволяет во многих случаях построить явное решение (в тэта-функциях), указать спектральную кривую, определить переменные действие угол, то есть получить достаточно полную информацию о фазовом потоке [44, 241, 309].
3. Гамильтоновость уравнений Лакса. Вообще говоря, класс систем, допускающих представление в виде L — А-пары, отличается от класса гамильтоновых систем. Как показано в [82], формальное представление Лакса—Гейзенберга можно построить для аналитической системы дифференциальных уравнений, рассматриваемой в окрестности положения равновесия х = Лх + • • ¦ , х Є 1™ (оно не будет формальным для линейной системы X = Лх). Кроме того, если замена времени 40
Глава 1
вдоль траектории dr = /(х) dt, в общем случае, приводит к потере гамильтоновости, то аналогичная замена в уравнениях L = [L, А] приводит только к переопределению матрицы А —» /(х)А. Достаточным условием гамильтоновости уравнений в форме Лакса—Гейзенберга, в случае принадлежности матрицы L некоторой полупростой алгебре, является возможность представления А матрицы
А = dH(L) + A(L) -L,
где -ff (L), A(L) некоторые скалярные функции на алгебре.
Отметим также, что для известных в настоящее время представлений Лакса—Гейзенберга, матрица А всегда может быть интерпретирована как градиент некоторой функции Н. Возможности негамильтоно-вых представлений Лакса—Гейзенберга в литературе практически не обсуждались. Построенное в работе [27] представление для негамильто-новой системы Альфана на наш взгляд является довольно искусственным.
Замечание 2. В работе JI. Фейрбанкса (L. Fairbanks) [234] было получено одно-парамстричсское представление Лакса—Гейзенберга в виде матриц размера 2x2 для алгебраически вполне интегрируемых систем, допускающих линеаризацию на двумерных абелевых торах (в частности для волчка Ковалевской). Для построения такой пары уже заведомо нужно иметь уравнения Абеля—Якоби, то есть найти систему разделяющих переменных (типа переменных Ковалевской). Поэтому практическая ценность такой L — А-пары, как и аналогичных представлений, найденных алгебро-геометрическими методами с использованием траєкторних изоморфизмов является сомнительной. «Естественные» представления Лакса Гейзенберга методы построения которых описаны в §§ 9,10 гл. 2, наоборот, помогают найти полную систему инволютивных интегралов и явно проинтегрировать уравнения движения. Как показано в работах [44, 179] система Абеля—Якоби является гамильтоновой в различных смыслах. Представление Лакса—Гейзенберга для систем с разделяющимися переменными штеккелева типа приведено в [160].
4. Примеры. Любая гамильтонова система в канонической форме и с аналитическим в особой точке гамильтонианом допускает представление в виде L — А-пары [3]. Действительно, пусть Н(р, q) — полиномиальный гамильтониан с особой точкой О. Разложим H в сумму Hk однородных слагаемых степени к(к ф 1) и положим G = Hf./(к — 1). § 4- Представление Лакса—Гейзенберга 41
Рассмотрим следующие матрицы размера (2п + 1) х (2и + 1)
/О 0 р\
L=O 0 q Л =
VP q о/
где E — единичная матрица размера п.
Тогда, используя формулы Эйлера для однородных функций GppP + Gpqq = Hp, GqpP + Gqqq = Hq, уравнения Гамильтона можно записать в форме L = [L, А].
Для линейной интегрируемой канонической системы с квадратичным гамильтонианом H = i(Sz,z), z = (p,q) (гамильтопова теория
малых колебаний) легко указать представление Лакса—Гейзенберга, содержащее спектральный параметр [3]. В рассматриваемом случае матрица А из предыдущего примера является постоянной и можно положить L(A) = L + AA. Тогда L(A) = [L(A), А] — коммутационное представление для линейной системы. Характеристический многочлен матрицы L(A) имеет вид
dct(//E2n+i - L(A)) = dct(AS - fift) [// + ((AS - fifty1 ftz, O^)],
где ft — матрица симплектической формы. Коэффициенты этого многочлена при ji?k (k = 0,... , /7, — 1) являются квадратичными по z первыми интегралами рассматриваемой системы. С помощью несложных расчетов можно убедиться, что они находятся в инволюции. Заметим также, что всякая четномерная линейная система с невырожденным первым интегралом является гамильтоновой [82].
Связь представления Лакса со спектральным параметром с интегрируемостью динамических систем иллюстрируется следующим примером.
Вполне интегрируемая (вообще говоря негамильтонова) система в стандартном виде
I1 = . . . = Ik = 0, Ifi1 = L-J1(I), ... ,фт=Шт(1) 42
Глава 1
допускает точное представление Лакса—Гейзенберга со спектральным параметром L(A) =L + AA, L(A) = [L(A). А], где
