Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Борисов А. -> "Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике" -> 12

Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.

Борисов А. , Мамаев И.С. Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике — Удмуртский университет, 1999. — 470 c.
Скачать (прямая ссылка): puassonistrukturiialgebri1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 144 >> Следующая


В классической механике используется также инвариантная мера, являющаяся п-мерным тензорным инвариантом. Для канонических уравнений Гамильтона ее существование следует из теоремы Лиувил-ля, для неголономных систем факт ее существования, вообще говоря, является исключением [83]. Примеры неголономных систем с инвариантной мерой приведены в [79].

Можно показать, используя тождество Якоби, что структурный тензор J'J(x), определяющий уравнения Гамильтона

Xі = Y JijW TTl, i = l,...,n (2.3)

. OXj

г

даже если он вырожден, также определяет тензорный (бивекторный) инвариант уравнений (2.3).

Введем еще один дополнительный, далее используемый, объект. Скобкой Схоутена кососимметрических контравариантных і-тензора А и j-тензора В (которые по общей терминологии являются мультивекто- § 2. Тензорные инварианты динамических систем 31

рами) называется мультивектор размерности (k + l — 1) и определяемый координатным образом как

ГА T>lk2...ki+j _ _1__M...ki+] лр12...11 ® тзпц...т., .

L - J ~ (і -1)!'/! ^ Eh-lim1...mjA Q d +

+ E I2"4)

Скобка Схоутена имеет свойство «антисимметричности» и удовлетворяет аналогу тождества Якоби (для fe-мультивектора С)

[А,В] = (-1)«[В,А],

(-1)<Л'[[В, С], A] + (-l)ift[[C, А], В] + (-l)fti[[A, В], С] = 0.

В частности, для бивектора (контравариантного 2-тензора)

ш = У Ji JL д JL (2.5)

дхг дхі v ;

скобка Схоутена

Z^V дхп дхп дхп)

Тождество Якоби для скобки, определяемой тензором (2.5)

і OF dG

дх% дхі

= (2-6)

можно представить в виде

{{F, G}, Н} + {{G, Н}, F} + {{Я, F}, G} =

z^l ' 1 дх' Oxj дхк tjk

Поэтому то обстоятельство, что скобка (2.6) удовлетворяет тождеству Якоби, эквивалентно требованию [ш.ш] = 0.

Пуассонова структура Q согласована с пуассоновой структурой ш, если [ш, П] = 0. Это определение будет использоваться в разделе, связанном с бигамильтоновыми системами. В этом (и только в этом) случае, 32

Глава 1

любая скобка из набора Аш + (iil, Х,ц Є M снова удовлетворяют тождеству Якоби. Сам набор образует пуассонов пучок скобок Пуассона прямую в пространстве скобок Пуассона. Любые две скобки из этого пучка являются согласованными. В некотором смысле условие согласованности пуассоновых структур является обобщением понятия инво-лютивности скалярных тензорных инвариантов — первых интегралов движения.

Явная форма записи условия согласованности скобок {•, и {-, -}і имеет вид:

^ E + \{f,g}i,h}0) = 0 (2.7)

для любых трех функций f,g,h. В формуле (2.7) суммирование выполнено по всем циклическим перестановкам f,g,h.

Для невырожденных бигамильтоповых систем , определенными согласованными тензорными полями J0 и Ji (при этом хотя бы одно поле является невырожденным, например J0), можно ввести оператор рекурсии R = JiJq1. Он определяет инвариантное тензорное поле (1. 1) и порождает бесконечную иерархию согласованных пуассоновых структур и соответствующих им тензорных инвариантов.

Для плотности инвариантной меры /(ж1,... ,ж") уравнений (2.1), определяющей интегральный инвариант /(х)о(ж1 Л ... Л (Ixn7 условие Cv f = 0 сводится к известному уравнению Лиувиллл

div(/v) = 0. (2.8)

Уравнения Гамильтона в канонической форме записи (1.1) имеют стандартную инвариантную меру / = const (теорема Лиувилля). Эта мера может быть получена из интегральных инвариантов уравнений (1.1) вида (и>2 Л ... А ш2)к при к = п (2п — размерность фазового пространства). Такого рода инвариантные меры называются лиувил-левыми [89]. В случае вырожденного структурного тензора J^ система (2.3) будет обладать тензорными инвариантами

J,J AJ,... ,{J A...AJ)k/2, (2.9)

где к — ранг пуассоновой структуры (более высокие степени тождественно равны нулю). При этом инвариантной меры у системы (1.3) может не быть вообще. § 2 Теоремы об интегрируемости гамильтоновых систем

33

Замечание 1. Наличие достаточно большого числа инвариантов произвольной структуры тесно связано с возможностью нахождения точного решения. В добавлении к книге [72] высказана гипотеза, что для интегрируемости системы

Xi = Vi(X), i = l,...,n (2.10)

кроме тривиального тензорного инварианта — поля симметрий v(a:) необходимо знать еще п — 1 инвариантов. Существует несколько эмпирических фактов, подтверждающих эту гипотезу. Дейстивтельно, для интегрируемости системы (2.10) достаточно знать п — 1 независимых первых интегралов или п — 1 независимых полей симметрий, пораждающих разрешимую алгебру Ли (теорема Ли), либо п — 2 независимых интеграла и инвариантную меру (теорема Эйлера—Якоби). Теорема Лиувилля о полной интегрируемости гамильтоновых систем также укладывается в эту схему в гамильтоновом случае, кроме полного набора первых интегралов всегда существуют соответствующие им п гамильтоновых полей симметрии, порождаемых этими интегралами (сам гамильтониан порождает тривиальный инвариант).

Вопрос о возможности интегрируемости многомерных гамильтоновых систем с помощью различных наборов тензорных инвариантах и их влияние на динамику является очень интересным, но к сожалению, совсем не изучен.
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed