Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
Глава 2
2. Общая процедура редукции. Рассмотрим процедуру редукции в общей форме, как составную часть некоторой общей идеи, развиваемой Ли и названной им теорией функциональных групп [278]. Софус Ли первый указал на важность изучения наборов функций на пуассо-новом многообразии, замкнутых относительно скобки Пуассона.
Пусть M — пуассоново многообразие со структурным тензором
Jij — X
j} ранга г (dimM = п). Предположим, что на M задан также некоторый набор функций z„ \ M —»• R, a = 1,...,1, который замкнут относительно скобки Пуассона
Если все функции Za являются независимыми, то тензор ha?(z) определяет новый структурный тензор (и соответствующую функциональную группу по Ли). С теорией псевдогрупп Ли для нелинейного поля hn?(z) читатель может познакомиться по книге [71].
Если набор функций не является независимым (в частном случае, задает систему избыточных координат на М), то есть выполнены (независимые) соотношения
то тензорное поле, рассматриваемое в пространстве N = {zj, вообще говоря, не удовлетворяет тождеству Якоби. Оказывается, что в этом случае можно добиться выполнения тождества Якоби, преобразуя набор функций и тензорное поле h,„?(z).
Действительно, легко доказать корректность ограничения тензорного поля (8Л) на уровень (8.2), задающий подмногообразие Nq. Тождество Якоби для этого ограничения — {•, •}iv0 заведомо выполняется (для этого необходимо из набора z„ выделить полный набор независимых функций) и соответсвующее отображение z: M —> N0 является пу-ассоповым. Более того, возможно, что структуру (8.1) можно корректно ограничить на более широкое (объемлющее) мнообразие Ni, заданное лишь частью соотношений (8.2),
{za, Z?} = ha?(zi, ... , zi).
(8.1)
F?{z)=0, ? = l,...,k.
(8.2)
Fpiz) = 0, /І = 1,...,р < k,
(8.3)
на котором уже выполнено тождество Якоби. Соответствующую скобку Пуассона обозначим через {-,-}^- § 8. Редукции пуассоновых структур
71
Оставшаяся часть соотношений (8.2) с ц = р,р + 1 ,...,к разбивается на два подкласса
Представители первого набора являются центральными функциями, а второго набора — только пуассоповыми многообразиями, то есть
при условии F\(z) = 0.
Замечание 1. Для структуры Ли—Пуассона {•,•} эти многообразия определяемые соотношениями класса II, задают сингулярную орбиту коприсоеди-ненного представления соответствующей группы Ли (см. приложение D).
Для получения полного набора аппуляторов пуассоновой структуры на Ni необходимо к функциям Fu(z) добавить функции Казимира первоначальной структуры на M = {хі}, выражающиеся через переменные za. Так как не все пуассоновы подмногообразия на Ni, задаваемые соотношениями (8.2), являются функциями Казимира (то есть набор 2 не пуст), то ее ранг не обязательно будет меньше г, и может возрасти (при этом, однако, всегда rank{-,-}лг0 =? >')¦
Цслыо алгебраической пуассоновой редукции является: с одной стороны — с помощью выбора наиболее приемлемой системы функций za понизить ранг пуассоновой структуры на -/V0(I), с другой — найти наиболее приемлемое объемлющее многобразие JVi, на котором пуассопово тензорное поле ha? будет иметь наиболее простой алгебраический вид (в идеале определяется алгеброй Ли). При этом необходимо следить также за приемлемой алгебраической формой гамильтониана.
Укажем три конструктивных пути нахождения системы функций za и приведенного (редуцированного) тензорного поля (8.1) для гамильтоновой системы
Xі = {х, H} = Jij^.., X Є М. (8.4)
3. Алгебраические алгоритмы редукции.
1. Вследствие наличия симметрий (первых интегралов) может оказаться что гамильтониан H зависит не от всех переменных ж,;, а лишь от некоторых их комбинаций zi(x),...,, zi(x). Вообще говоря, этот набор
1) Fv(z) = О,
2) Fx(z) = О,
v= p, ..., р + т — 1, т € 1, А = р + т, ..., к.
{za,Fx(z) Ijv1=O, a = 1,...,1, 72
Глава 2
не является замкнутым относительно скобки Пуассона. Для получения замкнутого набора можно, следуя Якоби, выбрать за новые функции скобки Пуассона предыдущих. Несложно показать, что этот процесс на определенном шаге оборвется и определит необходимую нам замкнутую систему. Все искусство в этом случае заключается в выборе первоначальных комбинаций zi,. ..,Zi, для которого нет никакого определенного правила.
2. Пусть гамильтонова система (8.4) обладает первым интералом F(x) =с и соответствующим ему полем симметрий
Если система (8.5) достаточно проста, что как правило справедливо, когда интеграл F(x) имеет естественное симметрийное происхождение (связан с инвариантностью системы относительно некоторой од-нопараметрической группы преобразований), то она имеет достаточно богатое семейство независимых первых интегралов /і,.... /г отличных от F. По методу Якоби их можно дополпить до замкнутого семейства zi = fi, -.., zm = fm, (zk ф F)
Для многих содержательных механических систем тензор hij(z) сразу удовлетворяет не только тождеству Якоби, но и является линейным. Если семейство Z = (zi,...,zk) в некотором смысле является полным (в частности, если все Zj независимы и к = п — 1), то гамильтониан H и интеграл F можно выразить через эти переменные — H = H(z), F = F(z). Вследствие выбора функций Zi как интегралов поля (8.5), функция F(z) с ними коммутирует — {zk,F} = 0, и поэтому является аннуллтором структуры (8.6). Следовательно ранг (8.6) хотя бы на две единицы меньше исходного и процедура редукции завершена.
