Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
m%,j\P™~Fi Pm-Pk J
Таким образом, двумерное матричное уравнение (3.9), (3.8) эквивалентно уравнению Лакса (1.1), (3.1), (3.2).
II. Уравнение (3.9), (3.8) при вещественных ph, g3 имеет инвариантное подмногообразие эрмитовых матриц и: иы = Ujk-, в этом случае матрица w, определенная соотношениями (3.5), (3.8) является косоэрмитовой. Для матриц и, w размера 2X2 указанная конструкция приводит после обозначения v = ад і к уравнению, эквивалентному (2.5). При у = х уравнение (3.9), (3.8) является интегрируемым обобщением нелинейного уравнения Шрёдингера в эрмйтовых матрицах и размера пХп.
7*
99 Уравнение (3.9), (3.8) при чисто мнимых Ph-i^h и вещественных qh имеет вещественные решения Uhj(t, х, у). В простейшем случае п = 2, qi = q2 = § уравнение (3.9), (3.8) сводится после замены времени
dx/dt = 2bib2/(b і — b2) к системе двух уравнений для вещественных функций
U = UI2 и V = U2Il
их = иХу — ^udx1 {uv)y, vx = — vxy + ^VdZ1 (uv)y, (3.10)
где ? = 2/(Ma).
Полученную систему двух уравнений (3.10) можно записать так же, как одно уравнение на комплекснознач-ную функцию f(t, X, у) = u(t, X, y)+iv(t, х, у):
It = Uv +Jiffdx1(I2-I2)v- (3.11)
Уравнения (3.10) для функций и, v вида a(t, х, y)=w(x, у)ехр(Et),
v(t, х, у) = Cw(х, г/)ехр(—Et) (3.12) сводятся к одному уравнению
Wxy — 2Cfiu;dx 1 (wwy) = Ew. (3.13)
Это уравнение после замены
W = <px, фзд = /'(ф) (3-14)
эквивалентно следующим интегрируемым случаям уравнения Клейна — Гордона:
Ф« = /'(Ф), Г(ф)-2СР/(ф) = Я. (3.15)
Поэтому любому точному решению уравнения Клейна — Гордона (3.15) соответствует по формулам (3.12), (3.14) точпое решение системы уравнений (3.10). ЧАСТЬ II
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КОНСТРУКЦИИ ИНТЕГРИРУЕМЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
ГЛАВА V
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ДИСКРЕТИЗАЦИИ УРА. pIIIUI КОРТЕВЕГА — ДЕ ФРИЗА
Широко известна интегрируемая динамическая система — модель Вольтерра, возникшая впервые в математической теории борьбы за существование биологических видов [23]. Система Вольтерра возникает также при изучении тонкой структуры спектров ленгмюровских колебаний в плазме [43, 44]. В континуальном пределе система Вольтерра переходит в уравнение Кортевега — де Фриза. Исследованию системы Вольтерра, имеющей и другие названия—«дискретное уравнение КдФ» и «ленг-мюровская цепочка», посвящены работы [30, 43—45]. В данной главе изучается счетное множество интегрируемых динамических систем, которые также переходят в уравнение КдФ в континуальном пределе. Построенные динамические системы, как и модель Вольтерра, имеют применения в математической экологии и в физике плазмы.
§ 1. Интегрируемые динамические системы с квадратичной нелинейностью
I. Интегрируемая система Вольтерра определяется уравнениями
Ai = ai(ai+\ — ?j-i). (1.1)
Одним из важнейших свойств системы Вольтерра является то, что в континуальном пределе уравнения (1.1) переходят в уравнение Кортевега — де Фриза
Ut = QUUx-Uxxx (1.2)
и тем самым являются его интегрируемой дискретизацией.
101 Теорема 1. При любом целом р>2 динамическая система
[V-і Р-і \
a-i = аЛ 2 ai+k— 2 «i-ft (1'3)
допускает представление Лакса с произвольным спектральным параметром и в континуальном пределе переходит в уравнение КдФ (1.2).
Доказательство. Рассмотрим уравнение Лакса L = [L, А] вида
(a + mE)' = [a + тЕ, —Ъ — трЕ], (1.4)
где E — произвольный параметр, матрицы а и к имеют только один непулевой элемент в каждой строке и каждом столбце, которые определяются формулами
®i,i+l-P = аіі "™>i,i+1 = 1. (1-5)
Уравнение (1-4) эквивалентно системе трех матричных уравнений (коэффициенты при степенях спектрального параметра Е):
E0: a = —[а, Ъ], Eu. [т, Ъ] = [тр, а],
E2: [т, 0. (1.6)
Второе уравнение (1.6) удовлетворено, если матрица Ъ имеет вид
р-1
*>= 2 (1.7)
з=о
При этом в силу (1.5) матрица Ъ является диагональной со следующими ненулевыми элементами:
Ъи = bi = at + аі+1 + ... + ai+p-\. (1.8)
Первое уравнение (1.6) эквивалентно уравнениям at = = at(bi — bi fi-p), которые после подстановки формул (1.8) принимают вид (1.3). Поэтому динамическая система (1.3) эквивалентна уравнению Лакса (1.4), (1.5), (1.7).
Для получения континуального предела динамической системы (1.3) предположим, что справедливы равенства
dj(i) = 1 —¦ e2u(t, Xj), Xj = je, (1.9)
где u(t, x) — некоторая гладкая функция. Система (1.3) 102 после подстановки (1.9) переходит в систему
-і
-E2 (t, Xj) = (1 - е2и (t, Xj)) 2 (1 - E2U (t, Xj + кг)) -
\й=1
P-X Л
- S (1 - s2m (t, Xj - Ab)) . (1.10)
ft=і /
После подстановки разложения функции u(t, Xj +кг) в
р-1
ряд Тейлора в точке (t, Xj) находим = у ^ ^J
Ut = гр(р~ 1)м*+ е2(— р(р — 1 )иих + PLUxxx) + О (г5).
(1.11)
Уравнение (1.11) после перехода к новым переменным t' =t, х'=х + р (р — 1) гі принимает вид
После замены переменных
T = -B3Xf', х = ах', а—(р(р — l)/6\i)U2, и = цо3
и перехода к пределу в -»- 0 уравнение (1.12) преобразуется в уравнение Кортевега — де Фриза ut = Guux — Uxxx. Теорема 1 доказана.
