Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
которая подробно изучалась в работе [67] в связи с нелинейным уравнением Шрёдингера.
77 В дальнейшем рассматриваются решения v(t, х, у) уравнения (5.7), имеющие следующие асимптотики:
--оо: dx1(v2)v(t,x,y)-+g(t,y), v (t, х, у)-+ 0, ^ ^
X-+ + оо: d71(v\{t,x,y)->h(t,y), v (t, х, у) 0.
При этом потенциал q = ivHp\p2 -*- 0 при \х\ -> Согласно работе [67] преобразование
tG)-й-<7-9)
переводит решение системы (7.7) при вещественном % снова в решение. Функции Йоста ф, г|) при вещественном S определены как решения системы (7.7), имеющие асимптотики
(Л -их
Фі-Мо/6 ПРИ x^--00' cPa~*~[1/ ПРИ +
(7.10)
Функция т(\|)) при X + оо имеет асимптотику
(V
[O1
(7-И)
Функции ф2 и т(фг) образуют базис в двумерном пространстве решений системы (7.7). Поэтому справедливо равенство
Фі=а(?, t, y)x(<p2)+b(%, t, у)ф2. (7.12)
Для снектральной функции і|)(Я, t, х, у) (7.1) (к = = const) в силу уравнения Лакса L = [L, А] справедливо
¦уравнение
L(i|>« + A$) = А,(ф(+Аф), (7.13)
г. е. функция г|)( + Аг|) является линейной комбинацией двух функций Йоста (7.10), (7.11).
В силу формул (5.2), (5.6) и асимптотик (7.8) при X — оо получаем
а 2ар,
(% + A^1 = + 2ар\^1хху - ——- ^ix,
2ар 2 (7Л4)
(фі + Аг|))2 = Ц)3( + 2ap\yixxy + gfc-
При х,-*" +00 в формулах (7.14) необходимо заменить функцию g(f, у) на г/).
78 Обозначим через T преобразование (7.3): T(i?i, v'2) =
= (фі, фг) и через В — преобразование В = Т_1(| + А)Т-
Если функции (vi, v2) удовлетворяют системе (7.7), то в силу (7.13) функции В(уі, v2) также удовлетворяют системе (7.7).
При X -*¦ — оо в силу формул (7.14), (7.15) и (7.3) получаем Ві>г) = (Byi) Ві>2), где
Bv1 = vlt + 2ар' (vlxxy - -^r1Vlxy - (^4гт)3 %j +
, 2aP% I i'Q
/ 21 2 ) r І \ ' (7-І6)
Bv2 = v2t + 2 ap\ Iv2xxy - J-^ri v2xy - ^jj v2yj -
2api „/„ к
s (?- ^=Tiv\j-
Pi-Pt w
Применяя формулы (7.16) к функции Йоста фі (7.10) при X -> — получаем точное равенство
2iap,p.g
В (Фі) = - --.1 2 4Ч Фі. (7,17)
(p1-p2)(p1-i) vi \ j
Представим функцию Фі в виде (7.12) и применим аналог формул (7.16) при X -*¦ + при этом функция g(t, у) заменяется на h(t, у). Используя асимптотики (7.10), (7.11) при ? + Ooj находим
В (ф1) = В (a (?, t, у) т (ф2) + Ъ (?, t, у) ф2) =
/ 2ар\р\С KaP1P2I \
= at--і-ги—trha т(ф2) +
^ (Pl-I)2 (Р1 ~P2)(Pl~i) J
Л 2ар2р%г 2іарлрТ \
Подставляя в равенство (7.17), выражение фі = ат(фз) + + &Ф2 и используя формулу (7.18), получаем уравнения для функций a(l, t, у) и &(?, t, у) :
at — mZ,2ay = il%(g — h) а,
bt-ml2bv = ilUg + h)b, (7.19)
2ap\pl ZaPlP2
т. =—I =
(P1-I)2' (^1-^)(1-?)'
79 Параметр а в формулах (5.2), (5.6) является произвольным. Исходя из вида уравнения (5.7) выберем а = — -(P1- р2)*/2р1р1; тогда Ct1 = 1 и коэффициенты m и I в силу pi + р2 = 2 принимают вид /те = —4, I = ? = 2/р\Р2-
§ 8. Интегрируемые комплексификации уравнений КдФ и МКдФ
I. Конструкции интегрируемых комплексных расширений уравнений КдФ и МКдФ будут основаны на исследовании некоторых операторных уравнений вида
L = LA+ BL. (8.1)
Укажем в дополнение к § 3 еще три случая, когда уравнение (8.1) оказывается эквивалентным уравнению Лакса. Пусть L, А, В — комплексные операторы и черта L означает комплексное сопряжение.
У тверждение 3. Если В = —A, то уравнение (8.1) эквивалентно уравнению Лакса
Li=ILllA1] (8.2)
с операторами
L> - (l° Э- А' = (о -В)- <8-3>
Действительно, уравнение (8.2), (8.3) эквивалентно двум уравнениям
L = LA + BL, L = — AL — LB. (8.4)
Второе уравнение (8.4) эквивалентно первому, так как получается из него комплексным сопряжением с учетом условия В = —А.
Из уравнения Лакса (8.2) следует уравнение
(L12)' = [L1, A1], (8.5)
которое в случае (8.3) эквивалентно уравнению
(LL)'= [LL, А]. (8.6)
Утверждение 4. Если операторы AuB косоэрми-товы, А' = —А, В' = —В, то уравнение (8.1) эквивалентно уравнению Лакса (8.2) с операторами
Hl0 о)- МІ Л)- <">
80 Доказательство аналогично.
Из уравнения (8.5) в случае (8.7) следуют два уравнения
(LiL)' = [Vh, A], (LLi)' = [LLi1 - В] (8.8)
с эрмитовыми операторами L1L и LL'.
Утверждение 5. Если оператор А кососимметри-чен, а оператор В косоэрмитов, A1 = —А, В' = —В, то уравнение (8.1) эквивалентно уравнению Лакса (8.2), где операторы Li и Ai действуют на четырехкомпонентные вектор-функции и имеют вид
О О L4
L1 = I J 0 °о ^ |, A1 =| - » |. (8.9)
^L О О
Действительно, уравнение (8.2), (8.9) эквивалентно четырем уравнениям
L = LA + BL, І = LA + BL,
Li = — LtB - ALi, Li = - LiB - ALi.
Три последних уравнения ^8.10) эквивалентны первому в силу условий А' = —А, В' = —В. Поэтому уравнения (8.1) и (8.2), (8.9) эквивалентны. Из уравнения (8.2) следует
(L14)'= [Li, A1], (8.11)
которое в силу формул (8.9) эквивалентно двум уравнениям
Hi=IMi1 A], Mi = LtLL1L, KI2=IM2-B], M2 = LL1ECS
(8.12)
и уравнениям, комплексно сопряженным к ним. II. Рассмотрим уравнение
L = BL - LS, (8.13)
