Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
где операторы LhB имеют вид
L = - dl + и (t, х), В = - Ад% + Ab(t, х) дх + 4dxb(t, х),
(8.14)
u(t, х), b(t, х)—комплекснозначные функции. Уравнение (8.13), (8.14) сводится к системе двух дифференци-
6 О. И. Богоявленский 81 альных уравнений 3их = ЬХ + ЗЬХ, UtZi = (b + Ь)их + и(Ъ — bx) + (b - и)ш.
(8.15)
Из первого уравнения находим равенство
Ь = (Зи - й) + с, (8.16)
где с — произвольная постоянная. Второе равенство (8.15) после подстановки выражения (8.16) принимает вид
Ut = GiixU + 3 (и — и) Ux + у (и — 3и)ххх, (8.17)
где опущено несущественное слагаемое (с + с)их, которое устраняется заменой координат t\ = t, xi = х + (с + с) t.
Уравнение (8.17) эквивалентно операторному уравнению (8.13). Поэтому в силу утверждения 3 уравнение (8.17) допускает эквивалентное представление Лакса (8.2), (8.3). Следовательно, уравнение (8.17) интегрируемо методом обратной задачи рассеяния.
Соответствующий (8.14) оператор L\ (8.3) является дифференциальным оператором второго порядка, действующим па двухкомпонентные вектор-функции:
4::)=(=::::?- <->
Из уравнения (8.17) в силу утверждения 3 следует также уравнение Лакса
(LL)' = [LL1 - В],
где оператор LL имеет вид
hL = d% — udl — d2Ji + I u I2. (8.19)
Собственные числа эрмитовых операторов (8.18), (8.19) сохраняются в силу уравнения (8.17).
Уравнение (8.17) для вещественных функций u(t, х) переходит в уравнение КдФ и является, следовательно, его нетривиальной интегрируемой комплексификацией.
Уравнение (8.17) эквивалентно системе двух вещественных уравнений на вещественную и мнимую части функции u(t, x) = f(t, х)+ih(t, х):
ft = GfU - + 12hhx, К = -Gfhx + Zhxxx. (8.20) Из последнего уравнения находим / = {2hxxx — ht)/Ghx.
82 После подстановки этого выражения в первое уравнение (8.20) получается некоторое интегрируемое дифференциальное уравнепие второго порядка по t для одной функции h(t, х).
Из уравнения (8.17) следуют соотношения
(и + u)t = — (и2 + U2 — 6ии)х — (и + и)ххх, (и? + U2 — 6uu)t =
= -6Re
2ии2 + Iuuxx — UxUx — у иихх + J- и® j • (8.21)
В силу этих равенств уравнение (8.17) в классе функций u(t, х), достаточно быстро убывающих при Ы ->-имеет следующие первые интегралы:
oo oo
I1 = [ (и + М) dx, I2 = f (и2 + и2 — бий) da;. (8.22)
-oo -oo
III. Рассмотрим операторное уравнение
L2 = L2A + BL2, (8.23)
L2 = dx 4" V (t, х), = d% + a (t, х) dx + dxa (t, ж),
= - dl + Ь (t, х) dx + dxb(t, х), Ai = - А, В' = — В,
где a(t, х), b(t, х), u(t, х)—комплекснозначные функции. Уравнение (8.23) эквивалентно системе уравнений
2а + Ъ + Ъ = 3vx, 3Ox + Ъх + {2а + Ъ + Ъ)и = 3vxx,
(8.24)
Vt = 4 {а„ + {ах + bx)v + (b + b)vx — Uxxx). Из первых двух уравнений (8.24) следуют равенства
a = (3vx — и2 — Vx — и2) — 4- (с + с),
3 _ (8.25)
b = j- (3vx + 3v2 — vx— и2) + с.
Третье уравнение (8.24) после подстановки формул (8.25) принимает вид
Vt = (3w2 -Vs + 3vx (v-v) + ^ {v- (8.26)
где опущено несущественное слагаемое (c + c)vx.
Уравнение (8.26) эквивалентно операторному уравнению (8.23), где A = —А, В' = -В. Следовательно, в си-
6» 83 лу утверждения 5 уравнение (8.26) допускает эквивалентное представление Лакса (8.2), (8.9). Поэтому уравнение (8.26) интегрируемо методом обратной задачи рассеяния.
Уравнение (8.26) для вещественных функций v (t, х) совпадает с уравнением МКдФ
Vt = Qv2vx — Vxxx (8.27)
и поэтому является его нетривиальной интегрируемой комплексификацией. После подстановки v(t, х) = = f(t, х)+ ih(t, х) уравнение (8.26) переходит в интегрируемую систему двух вещественных уравнений:
Л=(6М*+2/3 + 6//г2 -/«)«,
h, = (6?/, -2?3 - 6f2h + 2hm)x. (8.28)
Из уравнения (8.23) следует уравнение
(L2Lg) = BL2Lg — L2L2B, L2L2 = — dx + v2 + vx = L,
совпадающее с уравнением (8.13) при и = v2 + vx. Формулы (8.16) и (8.25) для коэффициента b(t, х) совпадают. Поэтому уравнение (8.26) при преобразовании Миуры и = v2+ Vx переходит в уравнение (8.17), т. е. уравнение (8.26) является модифицированным по отношению к уравнению (8.17).
В силу утверждения 5 уравнение (8.26) допускает еще два представления Лакса вида (8.12). Соответствующие операторы Лакса имеют вид
M1 = Li2L2L2L = dx + dxv — vd% — vdlv — dx (vx + v2) dx +
+ V (vx + V2) dx — dx (va + v2)v + V2 (vx + V2),
M2 = L2LiL2Li = dt- (vx + V2) d2x- d2x{vx + Vі) + ] vx +V212.
Оператор Mi симметрический, оператор M2 = LL эрмитов. Собственные числа этих операторов являются первыми интегралами уравнения (8.26).
§ 9. Интегрируемые расширения уравнения КдФ с оператором L четвертого порядка. Модифицированная цепочка Тода
I. В данном параграфе мы выведем систему двух
уравнений, допускающую эквивалентное представление Лакса
L1=ILbA] (9.1)
84 с самосопряженным оператором Li четвертого порядка. Оператор Li представим в виде
L1 = L2 + V = di - Ud2x — diu + u2 + v, (9.2)
где L — оператор Шрёдингера
L = -d2x + u(t,x), (9.3)
u(t, х) и v(t, х)—неизвестные функции. Выберем оператор А в виде
